Proyeksi Vektor

Proyeksi Vektor - Apakah kalian pernah menggunakan atau hanya sekadar melihat alat proyeksi yang biasa disebut proyektor?

        Alat proyeksi merupakan alat yang biasa digunakan untuk mempresentasikan ide dan memperjelas informasi yang hendak disampaikan. Kemampuan alat ini untuk menampilkan gambar pada layar membuat komunikasi lebih efektif dan efisien. Alat-alat proyeksi juga telah mengalami perkembangan mulai dari mesin yang menggunakan lampu dan cermin hingga mesin canggih yang didukung dengan perangkat elektronik yang terhubung dengan komputer. Tahukah kalian bahwa, dalam vektor juga dikenal proyeksi, yaitu proyeksi vektor. Bagaimanakah proyeksi pada vektor? Untuk mengetahui jawabannya, mari simak topik ini dengan saksama.

🌸 KONSEP

☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳

Misalkan terdapat vektor A⃗ $\overrightarrow{A}$ yang hendak diproyeksikan pada vektor B⃗ $\overrightarrow{B}$ dengan sudut antara kedua vektor tersebut adalah θ. Proyeksi vektor A⃗ $\overrightarrow{A}$ pada vektor B⃗ $\overrightarrow{B}$ dilakukan dengan menarik garis pada ujung vektor A⃗ $\overrightarrow{A}$ tegak lurus vektor B⃗ $\overrightarrow{B}$ sehingga diperoleh vektor proyeksi C⃗ $\overrightarrow{C}$. Untuk lebih jelasnya, perhatikan ilustrasi berikut.

        Lantas, bagaimana cara menentukan panjang dan komponen dari vektor proyeksi C⃗ $\overrightarrow{C}$? Untuk menentukan panjang dan komponennya, perhatikan kembali gambar di atas.

Pada segitiga AOC, diketahui:

cosθ=∣∣C⃗ ∣∣∣∣A⃗ ∣∣⇒∣∣C⃗ ∣∣=∣∣A⃗ ∣∣cosθ$\cos \theta =\frac{\left|\overrightarrow{C}\right|}{\left|\overrightarrow{A}\right|}\Rightarrow \left|\overrightarrow{C}\right|=\left|\overrightarrow{A}\right|\cos \theta$

Ingat bahwa, perkalian skalar antara vektor A⃗ $\overrightarrow{A}$ dan B⃗ $\overrightarrow{B}$ adalah:

A⃗ ⋅B⃗ =∣∣A⃗ ∣∣∣∣B⃗ ∣∣cosθ⇒cosθ=A⃗ ⋅B⃗ ∣∣A⃗ ∣∣∣∣B⃗ ∣∣$\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=\left|\overrightarrow{A}\right|\left|\overrightarrow{B}\right|\cos \theta \Rightarrow \cos \theta =\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}}{\left|\overrightarrow{A}\right|\left|\overrightarrow{B}\right|}$

Dengan menggabungkan kedua hasil tersebut di atas, kita dapat menentukan panjang dari vektor proyeksi C⃗ $\overrightarrow{C}$, yaitu:

∣∣C⃗ ∣∣=∣∣A⃗ ∣∣cosθ⇔∣∣C⃗ ∣∣=∣∣A⃗ ∣∣A⃗ ⋅B⃗ ∣∣A⃗ ∣∣∣∣B⃗ ∣∣⇔∣∣C⃗ ∣∣=A⃗ ⋅B⃗ ∣∣B⃗ ∣∣$\begin{array}{l}\left|\overrightarrow{C}\right|=\left|\overrightarrow{A}\right|\cos \theta \\ \iff \left|\overrightarrow{C}\right|=\left|\overrightarrow{A}\right|\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}}{\left|\overrightarrow{A}\right|\left|\overrightarrow{B}\right|}\\ \iff \left|\overrightarrow{C}\right|=\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}}{\left|\overrightarrow{B}\right|}\end{array}$

Pertanyaan selanjutnya yang muncul adalah bagaimana cara menentukan komponen dari vektor proyeksi C⃗ $\overrightarrow{C}$ tersebut? Untuk mengetahuinya, coba perhatikan kembali ilustrasi di atas.

Vektor proyeksi C⃗ $\overrightarrow{C}$ merupakan bagian dari vektor B⃗ $\overrightarrow{B}$. Dengan demikian, komponen vektor proyeksi C⃗ $\overrightarrow{C}$ dapat kita tentukan dengan memanfaatkan komponen vektor B⃗ $\overrightarrow{B}$. Dengan kata lain, kita cukup mencari vektor unit (vektor satuan) dari vektor B⃗ $\overrightarrow{B}$. Setelah itu, mengalikannya dengan panjang vektor proyeksi C⃗ $\overrightarrow{C}$.

Seperti yang kita ketahui, vektor unit dari vektor B⃗ $\overrightarrow{B}$ adalah:

B⌢=B⃗ ∣∣B⃗ ∣∣$\stackrel{⌢}{B}=\frac{\overrightarrow{B}}{\left|\overrightarrow{B}\right|}$

Dengan demikian, komponen vektor proyeksi C⃗ $\overrightarrow{C}$ dapat ditentukan dengan rumus berikut.

C⃗ =B⌢∣∣C⃗ ∣∣⇔C⃗ =B⃗ ∣∣B⃗ ∣∣A⃗ ⋅B⃗ ∣∣B⃗ ∣∣⇔C⃗ =A⃗ ⋅B⃗ ∣∣B⃗ ∣∣2B⃗ $\begin{array}{l}\overrightarrow{C}=\stackrel{⌢}{B}\left|\overrightarrow{C}\right|\\ \iff \overrightarrow{C}=\frac{\overrightarrow{B}}{\left|\overrightarrow{B}\right|}\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}}{\left|\overrightarrow{B}\right|}\\ \iff \overrightarrow{C}=\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}}{{\left|\overrightarrow{B}\right|}^2}\overrightarrow{B}\end{array}$

Nah, bagaimana jika proyeksi dilakukan dari vektor B⃗ $\overrightarrow{B}$ pada vektor A⃗ $\overrightarrow{A}$ seperti ilustrasi di bawah ini?

Untuk menentukan proyeksi vektor B⃗ $\overrightarrow{B}$ pada vektor A⃗ $\overrightarrow{A}$, kita dapat menggunakan langkah yang sama dengan sebelumnya. Panjang dari vektor proyeksi C⃗ $\overrightarrow{C}$ adalah:

∣∣C⃗ ∣∣=∣∣B⃗ ∣∣cosθ$\left|\overrightarrow{C}\right|=\left|\overrightarrow{B}\right|\cos \theta$

Vektor proyeksi C⃗ $\overrightarrow{C}$ adalah:

C⃗ =A⃗ ⋅B⃗ ∣∣A⃗ ∣∣2A⃗ $\overrightarrow{C}=\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}}{{\left|\overrightarrow{A}\right|}^2}\overrightarrow{A}$

Dalam beberapa buku, istilah proyeksi skalar dan proyeksi orthogonal digunakan secara berturut-turut untuk menyatakan panjang vektor proyeksi dan vektor proyeksi. Adapun perbedaan mendasar dari kedua proyeksi ini dirangkum dalam tabel berikut:

☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳

🍒 Contoh 1

▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩

Tentukan vektor proyeksi A⃗ =⟨3,4⟩$\overrightarrow{A}=⟨3,4⟩$ pada vektor B⃗ =⟨5,0⟩$\overrightarrow{B}=⟨5,0⟩$ .

Penyelesaian:

Vektor proyeksi A⃗ $\overrightarrow{A}$ pada vektor B⃗ $\overrightarrow{B}$ dapat ditentukan dengan rumus berikut.

C⃗ =A⃗ ⋅B⃗ ∣∣B⃗ ∣∣2B⃗ $\overrightarrow{C}=\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}}{{\left|\overrightarrow{B}\right|}^2}\overrightarrow{B}$

Untuk itu, kita tentukan dahulu hasil perkalian skalar vektor A⃗ $\overrightarrow{A}$ dan B⃗ $\overrightarrow{B}$ serta panjang vektor B⃗ $\overrightarrow{B}$.

∣∣B⃗ ∣∣=52+02‾‾‾‾‾‾‾√∣∣B⃗ ∣∣=25‾‾‾√∣∣B⃗ ∣∣=5$\begin{array}{l}\left|\overrightarrow{B}\right|=\sqrt{5^2+0^2}\\ \left|\overrightarrow{B}\right|=\sqrt{25}\\ \left|\overrightarrow{B}\right|=5\end{array}$
A⃗ ⋅B⃗ =⟨3,4⟩⋅⟨5,0⟩=15$\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=⟨3,4⟩\cdot ⟨5,0⟩=15$

Dengan demikian, vektor proyeksi yang dimaksud adalah:

C⃗ =A⃗ ⋅B⃗ ∣∣B⃗ ∣∣2B⃗ =15(5)2⟨5,0⟩=35⟨5,0⟩=⟨3,0⟩$\begin{array}{ll}\overrightarrow{C}& =\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}}{{\left|\overrightarrow{B}\right|}^2}\overrightarrow{B}\\ & =\frac{15}{{\left(5\right)}^2}⟨5,0⟩\\ & =\frac{3}{5}⟨5,0⟩\\ & =⟨3,0⟩\end{array}$

Jadi, vektor proyeksi vektor proyeksi A⃗ =⟨3,4⟩$\overrightarrow{A}=⟨3,4⟩$ pada vektor B⃗ =⟨5,0⟩$\overrightarrow{B}=⟨5,0⟩$ adalah vektorC⃗ =⟨3,0⟩$\overrightarrow{C}=⟨3,0⟩$.

▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩

🍒 Contoh 2

▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩

Hitunglah panjang vektor proyeksi A⃗ =⟨1,0,2⟩$\overrightarrow{A}=⟨1,0,2⟩$ pada vektor B⃗ =⟨1,1,1⟩$\overrightarrow{B}=⟨1,1,1⟩$.

Penyelesaian:

Panjang vektor proyeksi dapat ditentukan dengan persamaan berikut.

∣∣C⃗ ∣∣=A⃗ ⋅B⃗ ∣∣B⃗ ∣∣$\left|\overrightarrow{C}\right|=\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}}{\left|\overrightarrow{B}\right|}$

Untuk itu, kita tentukan dahulu perkalian skalar vektor A⃗ $\overrightarrow{A}$ dan B⃗ $\overrightarrow{B}$ serta panjang B⃗ $\overrightarrow{B}$.

A⃗ ⋅B⃗ =⟨1,0,2⟩⋅⟨1,1,1⟩=1+0+2=3$\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=⟨1,0,2⟩\cdot ⟨1,1,1⟩=1+0+2=3$

B⃗ =12+12+12‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=1+1+1‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=3‾√=3‾√$\begin{array}{ll}\overrightarrow{B}& =\sqrt{1^2+1^2+1^2}\\ & =\sqrt{1+1+1}\\ & =\sqrt{3}\\ & =\sqrt{3}\end{array}$

Dengan demikian, panjang vektor proyeksi yang dimaksud adalah:

∣∣C⃗ ∣∣=A⃗ ⋅B⃗ ∣∣B⃗ ∣∣⇔∣∣C⃗ ∣∣=33√⇔∣∣C⃗ ∣∣=3‾√$\begin{array}{l}\left|\overrightarrow{C}\right|=\frac{\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}}{\left|\overrightarrow{B}\right|}\\ \iff \left|\overrightarrow{C}\right|=\frac{3}{\sqrt{3}}\\ \iff \left|\overrightarrow{C}\right|=\sqrt{3}\end{array}$

Jadi, panjang proyeksi vektor A⃗ =⟨1,0,2⟩$\overrightarrow{A}=⟨1,0,2⟩$ pada vektor B⃗ =⟨1,1,1⟩$\overrightarrow{B}=⟨1,1,1⟩$ adalah 3‾√$\sqrt{3}$.

▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩

Nah, kalian telah selesai belajar tentang proyeksi vektor. Agar pemahaman kalian bertambah lagi, yuk kerjakan latihan soal-soal berikut ini. Selamat berlatih.