Penggabungan Refleksi dan Translasi terhadap Garis y = k

Penggabungan Refleksi dan Translasi terhadap Garis y = k - Pada topik sebelumnya kalian telah belajar mengenai materi transformasi tentang penggabungan translasi dan refleksi terhadap garis 

x=h$x=h$. Nah dalam topik kali ini, kalian akan belajar tentang gabungan translasi dan refleksi terhadap garis y=k$y=k$.

Apakah kalian masih ingat dengan materi translasi dan refleksi terhadap garis y=k$y=k$?

Yuk kita ingat kembali kedua materi tersebut.

Translasi

Hasil translasi titik A(x,y)$A(x,y)$ oleh T(ab )$T\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ adalah titik A(x+a,y+b)$A(x+a,y+b)$.

Adapun notasi matematika untuk translasi tersebut adalah sebagai berikut:

A(x,y)−→−−−(ab )A′(x+a,y+b)$A(x,y)\stackrel{\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)}{\to }{A}^{\prime }(x+a,y+b)$

Refleksi Terhadap Garis y = k

Coba tebak, bagaimanakah rumus refleksi (pencerminan) terhadap garis y = k?

Ya, hasil refleksi titik A(x,y)$A(x,y)$ oleh refleksi terhadap garis y=k$y=k$ adalah A′(x,2k−y)$A^{\prime }(x,2k-y)$.

Adapun notasi matematis dari hubungan di atas adalah sebagai berikut: A(x,y)−→−−My=kA′(x,2k−y)$A(x,y)\stackrel{M_{y=k}}{\to }{A}^{\prime }(x,2k-y)$.

Nah, bagaimanakah bentuk persamaan matriksnya?

Benar, bentuk persamaan matriksnya adalah (x′y′ )=(100−1 )(xy )+(02k )$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ 2k\end{array}\right)$.

Nah, kalian sudah kembali diingatkan dengan materi translasi dan refleksi terhadap garis y=k$y=k$

Sekarang mari kita pelajari materi tentang gabungan translasi dan refleksi terhadap garis y=k$y=k$ melalui beberapa contoh berikut.

Contoh 1:

Tentukan bayangan titik A(2,−5)$A(2,-5)$ oleh translasi T=(2−3 )$T=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$ dilanjutkan refleksi terhadap garis y=3$y=3$.

Penyelesaian:

Langkah pertama adalah menentukan bayangan titik A(2,−5)$A(2,-5)$ oleh translasi T=(2−3 )$T=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$.

A(2,−5)−→−−−−(2−3 )A′(2+2,−5−3)=A′(4,−8)$A(2,-5)\stackrel{\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)}{\to }{A}^{\prime }(2+2,-5-3)=A^{\prime }(4,-8)$

Langkah kedua adalah menentukan bayangan titik A′$A^{\prime }$ yang diperoleh dari langkah pertama oleh refleksi terhadap garis y=3$y=3$.

A′(4,−8)−→−−−My=3A″(4,2(3)−(−8))=A″(4,14)$A^{\prime }(4,-8)\stackrel{M_{y=3}}{\to }{A}^{″}(4,2\left(3\right)-(-8))=A^{″}(4,14)$

Berdasarkan hasil pada langkah kedua, dapat disimpulkan bahwa bayangan titik A(2,−5)$A(2,-5)$ oleh translasi T=(2−3 )$T=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$ dilanjutkan refleksi terhadap garis y=3$y=3$ adalah A″(4,14)$A^{″}(4,14)$.

Apakah kalian sudah paham dengan contoh di atas?

Nah, pada contoh selanjutnya kita akan menentukan bayangan suatu garis oleh suatu translasi yang dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y=k$y=k$

Contoh 2:

Tentukan bayangan garis 2x+3y=6$2x+3y=6$ oleh translasi T=(−45 )$T=\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\end{array}\right)$ dilanjutkan refleksi terhadap garis y=−2$y=-2$.

Penyelesaian:

Langkah pertama adalah menentukan bayangan titik (x,y)$(x,y)$ oleh translasi T=(−45 )$T=\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\end{array}\right)$dilanjutkan refleksi terhadap garis y=−2$y=-2$.

P(x,y)−→−−−(−45 )P′(x−4,y+5)$P(x,y)\stackrel{\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\end{array}\right)}{\to }{P}^{\prime }(x-4,y+5)$

P′(x−4,y+5)−→−−−My=−2P″(x−4,2(−2)−(y+5))=P″(x−4,−y−9)$P^{\prime }(x-4,y+5)\stackrel{M_{y=-2}}{\to }{P}^{″}(x-4,2(-2)-(y+5))=P^{″}(x-4,-y-9)$

Langkah kedua adalah mencari hubungan antara variabel x$x$, x″$x^{″}$, y$y$, dan y″$y^{″}$.

Berdasarkan uraian pada langkah pertama, kita peroleh hubungan sebagai berikut:

• x″=x−4⇔x=x″+4$x^{″}=x-4\iff x=x^{″}+4$
• y″=−y−9⇒y=−y″−9$y^{″}=-y-9\Rightarrow y=-y^{″}-9$

Langkah ketiga adalah mensubtitusikan hasil yang diperoleh pada langkah kedua ke persamaan garis.

2x+3y=6⇔2x″+8−3y″−27=6⇔2x″−3y″=25 $\begin{array}{rl}& 2x+3y=6\\ & \iff 2x^{″}+8-3y^{″}-27=6\\ & \iff 2x^{″}-3y^{″}=25\end{array}$

Nah, berdasarkan hasil pada langkah ketiga, dapat disimpulkan bahwa bayangan garis 2x+3y=6$2x+3y=6$ oleh translasi T=(−45 )$T=\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\end{array}\right)$ dilanjutkan refleksi terhadap garis y=−2$y=-2$adalah 2x−3y=25$2x-3y=25$.

Yuk kerjakan sepuluh latihan yang ada dalam topik ini untuk menguji pemahaman kalian.