Penerapan Trigonometri dalam Kehidupan Sehari-Hari

Penerapan Trigonometri dalam Kehidupan Sehari-Hari - Jika pada topik sebelumnya kalian telah belajar tentang penerapan jumlah dan selisih sinus, kosinus, dan tangen dalam persamaan identitas, pada topik ini kalian akan belajar tentang penerapannya dalam masalah aplikasi.

▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩

Kalian tentu tidak asing lagi dengan kertas karton bukan? Ya, kertas karton biasanya digunakan dalam bidang manufaktur, industri, hingga kerajinan. Umumnya, kertas karton digunakan sebagai bahan dasar untuk membuat kemasan suatu produk yang dipasarkan. Kemasan produk tersebut mempunyai bentuk yang beragam, mulai dari bentuk kotak yang sederhana hingga tatakan telur yang bergelombang.

        Dalam memproduksi kemasan produk, perusahaan manufaktur perlu mengetahui luas dari kertas karton yang digunakan. Hal ini dimaksudkan agar biaya yang dibutuhkan dapat diperkirakan. Untuk bentuk kotak yang sederhana, perhitungan luas karton tidaklah terlalu sulit. Namun bagaimana menghitung luas karton dengan bentuk yang rumit seperti pada tatakan telur? Untuk mengetahuinya, mari pelajari topik ini dengan saksama.

▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩

🏠 KONSEP

☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳

Pada topik sebelumnya telah disinggung bahwa, rumus-rumus trigonometri yang telah kalian pelajari memegang peranan penting khususnya dalam penyederhanaan bentuk trigonometri. Selain itu, perlu kalian ketahui bahwa rumus-rumus trigonometri juga dapat membantu memecahkan masalah yang berhubungan dengan aplikasi. Namun sebelumnya, mari kita ingat kembali rumus jumlah dan selisih sinus, kosinus, dan tangen berikut ini.

        Rumus-rumus di atas dapat digunakan untuk mengubah penjumlahan trigonometri menjadi perkalian atau sebaliknya. Untuk memahami penerapan rumus tersebut dalam masalah aplikasi, perhatikan beberapa contoh berikut ini.
☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳

Contoh

Seorang ahli geologi telah menyusun suatu fungsi untuk menyatakan panjang stalaktit dalam satuan meter pada suatu goa kapur sebagai berikut:

T(a,t)=e2sin(a+t2)cos(a−t2)$T(a,t)=e^{2\sin (\frac{a+t}{2})\cos (\frac{a-t}{2})}$

Jika e merupakan bilangan Euler yang nilainya ≈ 2,72, a menyatakan usia stalaktit dalam satuan tahun, dan t menyatakan lamanya tetesan air yang mengalir yang juga dalam satuan tahun, maka bantulah ahli geologi tersebut menyederhanakan fungsi yang telah dia buat. Kemudian, hitunglah panjang stalaktit yang berusia 150 tahun dan telah dialiri tetesan air selama 30 tahun .

Penyelesaian:

Fungsi tersebut dapat disederhanakan dengan memanfaatkan rumus jumlah sinus yaitu:

T(a,t)=e2sin(a+t2)cos(a−t2)T(a,t)=esina+sintT(a,t)=esinaesint$\begin{array}{l}T(a,t)=e^{2\sin (\frac{a+t}{2})\cos (\frac{a-t}{2})}\\ T(a,t)=e^{\sin a+\sin t}\\ T(a,t)=e^{\sin a}{e}^{\sin t}\end{array}$

Dari hasil penyederhanaan rumus tersebut, kita dapat dengan mudah menghitung panjang stalaktit yang berusia 150 tahun dan telah dialiri tetesan air selama 30 tahun sebagai berikut (anggap variabel yang terlibat dalam satuan derajat):

T(a,t)=esin150∘esin30∘T(a,t)=e12e12T(a,t)=e√e√=e≈2,72meter$\begin{array}{l}\mathrm{<br>}\end{array}$

$\begin{array}{l}T(a,t)=e^{\sin {150}^{\circ }}{e}^{\sin {30}^{\circ }}\\ T(a,t)=e^{\frac{1}{2}}{e}^{\frac{1}{2}}\\ T(a,t)=\sqrt{e}\sqrt{e}=e\approx 2,72\text{meter}\end{array}$

Jadi, panjang stalaktit yang berusia 150 tahun dan telah dialiri tetesan air selama 30 tahun kurang lebih 2,72 meter.

Contoh 4

Posisi lengan piston relatif terhadap sumbu putar dinyatakan dengan fungsi berikut:

P(x,t)=r(2cos(x+t2)cos(x−t2)−2sin(x+t2)sin(x−t2))$P(x,t)=r(2\cos (\frac{x+t}{2})\cos (\frac{x-t}{2})$

$-2\sin (\frac{x+t}{2})\sin (\frac{x-t}{2}))$

Apabila diketahui jari-jari roda 2 inci, hitunglah posisi lengan piston saat x=π$x=\pi$ dan t=π5$t=\frac{\pi }{5}$.

Penyelesaian:

Dengan mensubstitusikan nilai yang diketahui ke dalam fungsi posisi, kita peroleh:

P(π,π5)=(2)(2cos(π+π52)cos(π−π52)−2sin(π+π52)sin(π−π52))$P(\pi ,\frac{\pi }{5})=(2)$

$(2\cos (\frac{\pi +\frac{\pi }{5}}{2})\cos (\frac{\pi -\frac{\pi }{5}}{2})-2\sin (\frac{\pi +\frac{\pi }{5}}{2})\sin (\frac{\pi -\frac{\pi }{5}}{2}))$

Perhatikan bahwa dengan memanfaatkan rumus jumlah dan selisih kosinus, perhitungan akan menjadi lebih sederhana.

P(π,π5)=2([2cos(π+π52)cos(π−π52)]+[−2sin(π+π52)sin(π−π52)])P(π,π5)=2(cosπ+cosπ5+cosπ−cosπ5)P(π,π5)=2(cosπ+cosπ)P(π,π5)=2(2cosπ)P(π,π5)=4cosπ=4(−1)=−4inci$\begin{array}{l}\mathrm{<br>}\end{array}$

$\begin{array}{l}P(\pi ,\frac{\pi }{5})=2([2\cos (\frac{\pi +\frac{\pi }{5}}{2})\cos (\frac{\pi -\frac{\pi }{5}}{2})]+[-2\sin (\frac{\pi +\frac{\pi }{5}}{2})\sin (\frac{\pi -\frac{\pi }{5}}{2})])\\ P(\pi ,\frac{\pi }{5})=2\end{array}$

$\begin{array}{l}(\cos \pi +\cos \frac{\pi }{5}+\cos \pi -\cos \frac{\pi }{5})\\ P(\pi ,\frac{\pi }{5})=2(\cos \pi +\cos \pi )\\ P(\pi ,\frac{\pi }{5})=2(2\cos \pi )\\ P(\pi ,\frac{\pi }{5})=\end{array}$

$\begin{array}{l}4\cos \pi =4(-1)=-4\text{inci}\end{array}$

Jadi, posisi lengan piston adalah -4 inci (4 inci di bawah poros piston).

Nah, kalian telah selesai belajar tentang penerapan jumlah dan selisih sinus, kosinus, dan tangen dalam masalah aplikasi. Sekarang, saatnya kalian mengasah kemampuan dengan mengerjakan latihan soal-soal yang ada. Selamat berlatih.