Refleksi terhadap Dua Sumbu yang Sejajar dengan Sumbu X

Refleksi terhadap Dua Sumbu yang Sejajar dengan Sumbu X - Dalam topik sebelumnya, kalian telah belajar mengenai refleksi terhadap garis 

y=c$y=c$. Nah, dalam topik ini kalian akan belajar mengenai komposisi transformasi refleksi terhadap garis y=a$y=a$ yang dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y=b$y=b$.

Seperti yang telah kalian ketahui, bayangan titik (x,y)$(x,y)$ oleh refleksi terhadap garis y=c$y=c$adalah titik (x,2c−y)$(x,2c-y)$.

Dengan demikian,

• bayangan titik (x,y)$(x,y)$ oleh refleksi terhadap garis y=a$y=a$ adalah titik (x,2a−y)$(x,2a-y)$
• bayangan titik (x,2a−y)$(x,2a-y)$ oleh refleksi terhadap garis y=b$y=b$ adalah titik (x,2b−(2a−y))=(x,y+2(b−a))$(x,2b-(2a-y))=(x,y+2(b-a))$

Nah, dari uraian di atas, dapat kita simpulkan bahwa bayangan titik (x,y)$(x,y)$ oleh refleksi terhadap garis y=a$y=a$ dilanjutkan dengan refleksi garis y=b$y=b$ adalah titik (x,y+2(b−a))$(x,y+2(b-a))$.

Berikut ini adalah salah satu ilustrasi mengenai kedudukan titik bayangan dari transformasi di atas.

Tahukah kalian bagaimana bentuk persamaan matriks dari transformasi tersebut?

Ya, oleh karena koordinat titik bayangan adalah (x″,y″)=(x,y+2(b−a))$(x^{″},y^{″})=(x,y+2(b-a))$, maka bentuk persamaan matriksnya adalah sebagai berikut:

(x″y″)=(xy)+(02(b−a))$\left(\begin{array}{l}{x}^{″}\\ y^{″}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}0\\ 2(b-a)\end{array}\right)$

Materi di atas mudah dipahami bukan?

Agar kalian semakin paham dengan materi di atas, yuk kita cermati beberapa contoh soal berikut.

Contoh 1

Tentukan bayangan titik (3,10)$(3,10)$ oleh refleksi terhadap garis y=2$y=2$ dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y=5$y=5$.

Penyelesaian:

Soal di atas dapat diselesaikan dengan dua cara, yaitu penyelesaian dengan geometri analitik dan penyelesaian dengan menggunakan persamaan matriks.

Geometri Analitik

Oleh karena refleksi pertama adalah terhadap garis y=2$y=2$, maka a=2$a=2$.

Selanjutnya, karena refleksi kedua adalah terhadap garis y=5$y=5$, maka b=5$b=5$.

Nah, karena bayangan titik (x,y)$(x,y)$ oleh refleksi terhadap garis y=a$y=a$ dilanjutkan dengan refleksi garis y=b$y=b$ adalah titik (x,y+2(b−a))$(x,y+2(b-a))$, maka bayangan titik (3,10)$(3,10)$ terhadap transformasi dalam soal adalah titik (3,10+2(5−2))=(3,10+6)=(3,16)$(3,10+2(5-2))=(3,10+6)=(3,16)$.

Persamaan Matriks

Jika dimisalkan bayangan titik (x,y)$(x,y)$ terhadap transformasi dalam soal adalah (x′,y′)$(x^{\prime },y^{\prime })$, maka

(x′y′)====(xy)+(02(b−a))(310)+(02(5−2))(310)+(06)(316)$\begin{array}{l}<br>\end{array}$

$\begin{array}{lll}\left(\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}0\\ 2\left(b-a\right)\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{l}3\\ 10\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}0\\ 2\left(5-2\right)\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{l}3\\ 10\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}0\\ 6\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{l}3\\ 16\end{array}\right)\end{array}$

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa bayangan titik (3,10)$(3,10)$ adalah titik (3,16)$(3,16)$.

Nah, bagaimanakah cara menentukan bayangan suatu garis oleh refleksi berurutan terhadap dua garis yang sejajar dengan sumbu X$X$?

Yuk kita temukan jawabannya dengan mencermati conoth soal berikut.

Contoh 2

Tentukan bayangan garis y=3x+1$y=3x+1$ oleh refleksi terhadap garis y=2$y=2$ dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y=4$y=4$.

Penyelesaian:

Soal di atas dapat diselesaikan dalam tiga langkah, yaitu

1. Memisalkan bayangan titik (x,y)$(x,y)$ adalah titik (x′,y′)$(x^{\prime },y^{\prime })$.
2. Menentukan hubungan antara variabel x$x$ dan x′$x^{\prime }$, serta hubungan antara variabel y$y$dan y′$y^{\prime }$.
3. Mensubtitusikan variabel x$x$ dan y$y$ ke persamaan garis.

Yuk kita selesaikan soal di atas.

Oleh karena bayangan titik (x,y)$(x,y)$ oleh transformasi dalam soal adalah (x′,y′)$(x^{\prime },y^{\prime })$, maka kita peroleh hubungan sebagai berikut:

(x′y′)=(xy)+(02(b−a))⇔(xy)=(x′y′)−(02(b−a))⇔(xy)=(x′y′)−(02(4−2))⇔(xy)=(x′y′)−(04)⇔(xy)=(x′y′−4)$\begin{array}{l}<br>\end{array}$

$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}0\\ 2\left(b-a\right)\end{array}\right)\\ \iff \left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}0\\ 2\left(b-a\right)\end{array}\right)\\ \iff \left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}0\\ 2\left(4-2\right)\end{array}\right)\\ \iff \left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}0\\ 4\end{array}\right)\\ \iff \left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }-4\end{array}\right)\end{array}$

Nah, jika kita subtitusikan x=x′$x=x^{\prime }$ dan y=y′−4$y=y^{\prime }-4$ ke persamaan garis y=3x+1$y=3x+1$, maka akan kita peroleh persamaan garis bayangan sebagai berikut:

y⇔y′−4⇔y′===3x+13x′+13x′+5$\begin{array}{lll}y& =& 3x+1\\ \iff y^{\prime }-4& =& 3x^{\prime }+1\\ \iff y^{\prime }& =& 3x^{\prime }+5\end{array}$

Jadi, bayangan garis y=3x+1$y=3x+1$ oleh refleksi terhadap garis y=2$y=2$ dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y=4$y=4$ adalah y=3x+5$y=3x+5$.

Nah, kalian telah selesai belajar mengenai materi di atas.
Yuk kerjakan latihan soal dalam topik ini.