Uji Hipotesis Dua Pihak

Uji Hipotesis Dua Pihak - Hipotesis adalah asumsi atau dugaan mengenai sesuatu hal. Hipotesis bisa benar ataupun tidak benar. Untuk menentukan apakah hipotesis itu benar atau tidak benar, dapat ditempuh dengan melakukan pengujian hipotesis.

Uji hipotesis beda dua mean populasi dengan distribusi normal

Langkah-langkah pengujian hipotesis adalah sebagai berikut :

1. Penentuan H0 dan H1

• H0 : μ1 - μ2 = 0 atau μ1 = μ2
• H1 : μ1 - μ2 ≠ 0 atau μ1 ≠ μ2

2. Penentuan Zkritis
3. Penentuan Zuji

• Kemungkinan pertama (yang diketahui adalah σ1 dan σ2)

dengan

• Kemungkinan kedua (yang diketahui adalah S1 dan S2)

dengan

4. Pengambilan keputusan

Terima H0 jika

• Zkritis bawah ≤ Zuji ≤ Zkritis atas

Tolak H0 jika :

• Zuji < Zkritis bawah
• Zuji > Zkritis atas

Uji hipotesis beda dua mean populasi dengan distribusi t-student

Distribusi t untuk uji hipotesis beda dua mean digunakan jika kondisi yang dihadapi adalah sebagai berikut:

1. Standar deviasi populasi σ tidak diketahui (yang diketahui adalah s)
2. Sampelnya kecil (n < 30)
3. Populasinya dianggap berdistribusi normal
4. Standar deviasi dari dua populasi yang tidak diketahui besarnya tersebut adalah sama besarnya (σ1 = σ2)

Hal-hal penting dalam pengujian beda dua mean dengan distribusi t:

1. Penentuan nilai tkritis tergantung dari derajat keyakinan dan derajat bebas. Dalam hal ini derajat bebasnya adalah n1 + n2 – 2
2. Penentuan tuji diperoleh dari rumus :

Mari kita mencermati beberapa contoh soal berikut ini.

Contoh 1 :

Terdapat dugaan bahwa mean pendapatan rumah-tangga bulanan dari kota A dan kota B adalah sama. Seseorang ingin menguji hipotesis tersebut dengan mengumpulkan data sebagai berikut. Dari kota A diambil 40 anggota keluargasebagai sampel, dan didapat mean pendapatan bulanannya $1,900 dengan standar deviasi $540. Dari kota B diambil 30 anggota keluarga sebagai sampel, dan didapat mean pendapatan bulanannya $1.600 dengan standar deviasi $420.

Bantulah orang tersebut dalam melakukan uji hipotesisnya dengan menggunakan derajat keyakinan 95% !

Penyelesaian :

Diketahui :

1. Penentuan H0 dan H1

H0 : μ1 = μ2 (mean pendapatan rumah tangga bulanan dari kota A dan kota B 
adalah sama)
H1 : μ1 ≠ μ2

2. Penentuan nilai kritis

dk = 95% = 0,95

Karena uji 2 pihak maka yang kita gunakan hanyalah ½ dk = ½ (0,95) = 0,475 , sehingga Zkritis = ±1,96 (lihat tabel Z)

3. Penentuan nilai uji

4. Karena 2,61 > + 1,96 maka kita menolak H0.
Kesimpulannya, pernyataan bahwa mean pendapatan dua kota tersebut sama adalah tidak benar.

Tabel Distribusi Normal Standar (Tabel Z)

Contoh 2 :

Diduga bahwa tidak ada beda antara mean daya tahan hidup dua merk batu baterai, yaitu merk A dan B. Untuk menguji hipotesis tersebut telah dikumpulkan data sebagai berikut: n1 = 12, X1= 3.400 jam, S1 = 240 jam, n2 = 8, X2= 2.800 jam, S2 = 210 jam. Bagaimana hasil ujinya? Gunakan derajat keyakinan 99%.

Penyelesaian :

1. Penentuan H0 dan H1

• H0 : μ1 = μ2 (tidak ada beda antara mean daya tahan hidup dua merk batu baterai)
• H1 : μ1 ≠ μ2

2. Penentuan nilai kritis

Tabel Distribusi t-student

3. Penentuan nilai uji

Dugaan atas variansi populasi gabungan 2 populasi :

Standar deviasi sampling :

sehingga

4. Karena 5,746> + 2,878 maka kita menolak H0.

Kesimpulannya, pernyataan bahwa tidak ada beda antara mean daya tahan hidup dua merk baterai adalah tidak benar.

Contoh 3 :

Informasi-informasi berikut ini diperoleh dari dua sampel independen dari dua buah populasi.

Dengan informasi tersebut, ujilah hipotesis bahwa dua mean populasi adalah berbeda. Gunakan tingkat signifikansi 5%.

Penyelesaian :

1. Penentuan H0 dan H1

• H0 : μ1 = μ2 (dua mean populasi adalah berbeda)
• H1 : μ1 ≠ μ2

2. Penentuan nilai kritis

• α = 0,05 maka Zkritis = ± 1,96

3. Penentuan nilai uji

maka

4. Karena 4,22 > + 1,96 maka kita menolak H0.

Kesimpulannya, pernyataan bahwa mean dua populasi berbeda adalah tidak benar.

Ekspektasi variabel random untuk kejadian empiris

Ekspektasi variabel random untuk kejadian empiris - Kejadian empiris adalah kejadian yang tidak dimodelkan dengan persamaan matematika. Probabilitas dari suatu variabel yang berupa kejadian empiris hanya ditentukan dari  data-data dari hasil eksperimen  ataupun dari eksperimen yang mempunya ruang sampel yang besar.  

Ketepatan dari perkiraan kita akan meningkat seiring dengan meningkatnya besar ruang sampel dari eksperimen tersebut. Hasil perkiraan akan sama dengan nilai mutlak dari probabilitasnya ketika ukuran ruang sampelnya mendekati  tak hingga besarnya .

 Probabilitas empiris  P(E), dari suatu kejadian E adalah ekspektasi/harapanmunculnya kejadian E terhadap seluruh kejadian pada ruang sampel.

Kumpulan dari probabilitas dari semua hasil eksperimen yang mungkin muncul disebut dengan  Distribusi Probabilitas. .

Probabilitas dari sebuah nilai dalam variabel random adalah perbandingan antara frekuensi nilai tersebut terhadap ukuran dari data sampel. Ukuran dari data sampel adalah jumlah dari semua frekuensinya. Jadi, persamaan untuk ekspektasi dari suatu variabel random X untuk kejadian empiris adalah :

Pada pelajaran ini, kita sebut  

N = semua nilai-nilai yang ada pada variable random

fn = frekuensi dari frequency of the value of random variable xn

CONTOH 1: 

Kita lakukan sebuah survey acak untuk mencari tahu jumlah anak-anak di sebuah Kota.  Hasilnya adalah sebagai berikut :: 

Jumlah Anak | Jumlah Rumah 

             0        :     11

             1        :     25

             2        :     47

             3        :     50

             4        :     17

Bagaimanakah distribusi probabilitas dari anak-anak? Juga, ,  Berapa banyak anak yang diharapkan dalam 1000 rumah (diambil sampel random, dibulatkan ke bilangan bulat terdekat)?.

PENYELESAIAN:

Dari soal, dapat diketahui jumlah orang yang disurvey adalah :

jumlah orang yang disurvey = 11+25+47+50+17 = 150

Oleh karena itu distribusi probabilitas:

11/150, 25/150, 47/150, 50/150, 17/150

Lalu, dengan mengalikan ‘x’ dengan F(x)

0, 25/150, 94/150, 150/150, 68/150

Dengan menjumlah jumlah-jumlah diatas, kita peroleh:

337/150

dengan mengalikan dengan 1000:

2247

Jadi, nilai ekspektasi dari banyakanya anak dalam 1000 rumah yang dipilih secara acak adalah 2247.

CONTOH 2:

Sebuah permainan melempar dart  ,   yang menembak pada titik-titik acak 

dalam sebuah persegi panjang. Jika dart menembus pada lingkaran merah, pemain menang $10  , jika dart menembus lingkaran biru, pemain menang $14 dan pemain menang $20 jika dart menembus segitiga hitam manapun.  pemain harus membayar $10 untuk ikut bermain dart, berapakah ekspektasi pemain untuk memperoleh/kehilangan uang?  

PENYELESAIAN:

Misalkan X adalah nilai uang yang diperoleh pemain:

Nilai dari X   |   Probabilitas   |  Produk

     10                  Π/16             1.96

     14                  Π/16             2.75     

     20                  1/4                 5

                        Total               9.71

Jadi, pemain akan berharap kehilangan 29 sen dalam setiap permainan.

Variabel Random untuk Kejadian Empiris

Variabel Random untuk Kejadian Empiris - Probabilitas empiris P(E), dari suatu kejadian E adalah bagian dari jumlah frekuensi  harapan kita terhadap suatu kejadian E.

Probabilitas terestimasi adalah sebuah pendekatan dalam mencari probabilitas empiris. Semakin banyak jumlah percobaan, maka nilai probabilitas terestimasi semakin mendekati probabilitas empiris.

Kumpulan dari peluang semua kejadian yang mungkin terjadi adalah distribusi probabilitas.

Menentukan Probabilitas Empiris

Probabilitas empiris dihitung  secara analitis, yaitu dengan menggunakan pengetahuan kita tentang sifat percobaan daripada melalui eksperimen langsung

Contoh 1:

Sebuah koin yang seimbang dilemparkan. Karena sisi gambar dan sisi angka seimbang, kita simpulkan   

bahwa distribusi probabilitas empirisnya adalah

                 P(H) = 1/2    ,     P(T) = 1/2.

Contoh 2:

Melemparkan sebuah dadu yang seimbang. Karena semua hasil yang mungkin dari sebuah dadu adalah seimbang, kita peroleh 
               P(1) = 1/6

Begitu juga, P(2) = 1/6, P(3) = 1/6, . . . , P(6) = 1/6.

Contoh 3:

Melemparkan sepasang dadu yang seimbang. Terdapat sebanyak  6 x 6 kemungkinan yang bisa terjadi.  

Peluang dari kejadian yang muncul tidak bisa kurang dari 1/36 . 

Ada 11 variasi jumlah angka dadu:

{ (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),

   (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

   (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),

   (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),

   (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),

   (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)  }

If E is the event that the sum of numbers is 4, then E = {(1, 3), (2, 2),

(3, 1)}. Since all 36 outcomes are equally likely, we have

                            P(E) = 3/36 = 1/12 = 0.8333

Distribusi probabilitas untuk kasus ini ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Contoh 4:

Berapakah probabilitas munculnya dua sisi gambar dan satu sisi angka pada saat tiga buah koin yang seimbang dilempar bersama-sama?

    PENYELESAIAN:

Misalkan X adalah jumlah munculnya sisi gambar pada setiap pelemparan tiga buah koin.

Banyaknya kejadian yang mungkin terjadi = 23 .Ruang sampelnya adalah

{(H,H,H),(H,H,T),(H,T,H),(T,H,H),(T,T,H),(T,H,T),(H,T,T),(T,T,T)}

Jadi, 

     P(X = 2) = 3/8 = 0.375 

Contoh 5: 

Sebuah survey acak dilakukan untuk mencari jumlah anak di sebuah kota Hasilnya adalah sebagai berikut: 

Jumlah anak | Jumlah rumah 

             0        :     11

             1        :     25

             2        :     47

             3        :     50

             4        :     17

Berapa distribusi probabilitas dari anak-anak tersebut? Selain itu, berapa anak yang diharapkan dapat ditemukan di 1000 rumah yang dipilih secara acak? (Bulatkan hingga ke bilangan bulat terdekat)

PENYELESAIAN:

Jumlah total responden survey adalah:

Jumlah total responden survey = 11+25+47+50+17 = 150

Dengan demikian, distribusi probabilitas 'F(x)' adalah:

11/150, 25/150, 47/150, 50/150, 17/150

Sekarang, kalikan 'x' dengan F(x)

0, 25/150, 94/150, 150/150, 68/150

Jumlahkan nilai-nilai di atas:

337/150

Kalikan dengan 1000:

2247

Jadi, nilai harapan jumlah anak yang ditemukan di 1000 rumah yang dipilih secara acak adalah 2247.

Ekspektasi Variabel Random untuk Kejadian Teoritis

Ekspektasi Variabel Random untuk Kejadian Teoritis -Dalam bidang peluang teoritis, nilai harapan (disebut juga ekspektasi atau mean) dari sebuah variabel random adalah rata-rata tertimbang dari semua nilai variabel yang mungkin. Rata-rata diperoleh dengan menghitung peluang masing-masing kejadian akan terjadi.

Untuk menghitung peluang terjadinya suatu kejadian, kita membagi jumlah cara kejadian itu dapat terjadi dengan jumlah semua kemungkinan hasil yang ada.

Dalam istilah teknis, nilai harapan, E(X), sama dengan:

di mana x adalah jumlah kejadian di dalam ruang sampel Ω (yaitu semua kejadian yang mungkin terjadi), dan m(x) adalah fungsi distribusi (yaitu peluang suatu kejadian muncul).

Contoh 1

Misalkan kita melemparkan koin sebanyak tiga kali. Andaikan X sama dengan jumlah munculnya sisi gambar. Hitunglah nilai harapan dari X.

Ingat, nilai harapan dari kejadian tak tentu adalah jumlah dari semua kemungkinan yang ada dikalikan masing-masing peluang kejadian tersebut. Kejadian yang mungkin dari X adalah 0, 1, 2, dan 3. Dengan kata lain, lemparan tersebut dapat memunculkan 0 sisi gambar, 1 sisi gambar, 2 sisi gambar, atau semua 3 sisi gambar.

Peluang munculnya 0 sisi gambar adalah 1/8 .

Peluang munculnya 1 sisi gambar adalah 3/8.

Peluang munculnya 2 sisi gambar adalah 3/8.

Peluang munculnya 3 sisi gambar adalah 1/8.

(Untuk memperoleh peluang-peluang ini, kita dapat membuat daftar semua kejadian yang mungkin dari pelemparan sebuah koin sebanyak 3 kali/ ada 8 kemungkinan.)

Jadi, nilai harapan dari X sama dengan 0(1/8)+1(3/8)+2(3/8)+3(1/8) = 3/2.

Contoh 2

Ben ingin bermain judi, jadi dia menawari kita permainan seperti ini: Untuk bermain, kita harus melemparkan sebuah dadu dan membayar $2 setiap lemparan. Jika dari lemparan itu muncul angka 1, Ben akan membayar kita $5. Jika muncul angka genap (2, 4, atau 6), dia akan memberi kita $3. Jika tidak, kita tidak mendapatkan apa-apa. Haruskan kita memainkan permainan ini dengannya?

Kita akan mengalikan pembayaran yang diperoleh ($) dari masing-masing kemunculan angka dengan peluang masing-masing kejadian yang mungkin terjadi. Jumlah dari hasil perkaliannya adalah nilai harapan.

Ada enam kejadian yang mungkin, yaitu munculnya angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Peluang masing-masing kejadian adalah 1/6 . Pembayaran yang diperoleh adalah $5 untuk angka 1, $3 untuk angka 2, 4, atau 6, dan $0 untuk angka 3 atau 5.

Dengan demikian, nilai harapannya adalah: 5(1/6)+3(1/6)+ 3(1/6)+3(1/6)+0(1/6)+0(1/6)= 14/6 = 2.33… , jadi secara umum kita mempunyai harapan untuk menang $2.50 pada setiap kali lemparan. Jika kita hanya membayar $2 untuk setiap kali melempar, maka kesempatan untuk mendapatkan untung lebih besar. Jadi kalau kita senang berjudi, kita harus ikut bermain.

Contoh 3

Bill-Fold Company membutuhkan $5 untuk membuat sebuah dompet kanvas dan $12 untuk membuat sebuah dompet kulit. Dompet kanvas dijual $9 dan dompet kulit dijual $20. Perusahaan itu telah memperhitungkan bahwa sekitar 40% dari dompet yang terjual adalah dompet kanvas, dan 60% -nya dompet kulit. Berapakah keuntungan yang bisa mereka harapkan dari setiap dompet?

Pertama, hitunglah keuntungan penjualan dari setiap dompet. Keuntungan dari penjualan sebuah dompet kanvas adalah $4 sedangkan keuntungan dari penjualan sebuah dompet kulit adalah $8. Prosentase setiap jenis dompet yang terjual dapat dipandang sebagai peluang – peluang seseorang akan memberi dompet kanvas adalah 40%, atau 0.4, dan peluang seseorang akan membeli dompet kulit adalah 60%, atau 0.6. Keuntungan yang diharapkan adalah 0.4(4) + 0.6(8) = 6.4 , jadi keuntungan yang diharapkan dari setiap dompet adalah $6.40.

Harga Harapan dari Suatu Variabel Random

Harga Harapan dari Suatu Variabel Random - Kita telah mempelajari tentang variabel random (acak) dan penggunaannya. Meskipun demikian, bagaimana kita mencari mean dari variabel random yang merupakan bagian dari sebuah ruang sampel yang besar? Nilai harapan dari sebuah variabel random digunakan untuk menghitung mean dari variabel random. 

Dalam pelajaran ini kita akan mempelajari cara untuk

• Menghitung nilai harapan dari variabel random; menjelaskannya sebagai mean dari distribusi peluang.

Nilai harapan dari variabel random adalah rata-rata tertimbang atau nilai tengah dari semua nilai yang mungkin dari variabel random. Simbol dari nilai harapan adalah E(x) dan rumus untuk variabel random diskret adalah

E(x) = x1P(1) + x2P(2) + ……… + xP(x)

Di mana variabel random X mengasumsikan nilai x1, x2…… x dengan peluang P(1), P(2)…. P(x)

E(x) = ∑ xP(x)

di mana x adalah jumlah dari nilai-nilainya, dihitung berdasarkan peluang yang bersangkutan.

Nilai harapan dalam jangka lama berarti bahwa jika nilai random dari sebuah eksperimen dikumpulkan terus-menerus, maka mean sampel atau rata-ratanya menjadi lebih dekat ke nilai harapan. Ada kemungkinan nilai harapan yang diperoleh itu mustahil atau tidak ada di kehidupan nyata. Nilainya bisa jadi 3.7 manusia atau 4.5 anak. Nilai harapan hanya bergantung pada data yang digunakan untuk menghitungnya.

Nilai harapan digunakan ketika menghimpun sekelompok besar angka, seperti pada saat sensus. Dalam sebuah sensus tidak dibutuhkan angka (data) tunggal, tetapi kita membutuhkan sebuah rata-rata atau mean.

Contohnya, ketika sebuah dadu dilemparkan, peluang munculnya angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 adalah 1/6.

                                                                                                     

Contoh:

                                                                                                     

Seseorang mempunyai asuransi mobil dari sebuah perusahaan yang dipilih secara acak. Misalkan X adalah jumlah pelanggaran tertulis yang dilakukan oleh orang tersebut selama kurun waktu 3 tahun. Data X dapat ditulis dalam tabel seperti di bawah ini.

(a)    Hitung E(X)

Penjelasan:

Soal yang diberikan adalah contoh dari variabel random diskret karena ada nilai yang terhingga dan berbeda (unik).

Berdasarkan rumus nilai harapan untuk variabel random diskret

E(x) = x1P(1) + x2P(2) + ……… + xP(x)

E(x) = 0 × 0.60 + 1 × 0.25 + 2 × 0.10 + 3 × 0.05

E(x) = 0 + 0.25 + 0.20 + 0.15

E(x) = 0.60