Nilai Akhir Rente

Nilai Akhir Rente - Kadang-kadang kita harus melakukan pembayaran dengan besar sama dan dalam jangka waktu yang sama pula. Nah, istilah untuk kondisi seperti itu selanjutnya dinamakan dengan rente.

Contoh rente adalah biaya sewa rumah tahunan, upah pekerja mingguan, pembayaran SPP setiap semester, cicilan kendaraan bermotor, atau cicilan pembayaran rumah.

Masing-masing modal yang secara rutin dibayarkan dalam jangka waktu atau interval tertentu selanjutnya disebut angsuran.

Berdasarkan banyaknya angsuran, rente dibedakan menjadi dua, yaitu:

• rente terbatas → rente dengan banyaknya angsuran terbatas
• rente kekal → rente dengan banyaknya angsuran tidak terbatas

Rente juga dapat dibedakan berdasarkan waktu pembayaran, yaitu:

• rente pranumerando → pembayaran angsuran dilakukan pada tiap permulaan jangka waktu
• rente postnumerando → pembayaran angsuran dilakukan pada tiap akhir jangka waktu

Tahukah kalian apa yang dimaksud dengan pembayaran angsuran pada setiap permulaan jangka waktu?

Misalkan jangka waktu yang dimaksud adalah bulanan, maka pembayaran angsuran adalah setiap awal bulan, yaitu setiap tanggal 1.

Nah, jika jangka waktunya adalah tahunan dan pembayaran angsuran pada setiap akhir jangka waktu, maka pembayaran angsuran tersebut dilakukan setiap tanggal 31 Desember.

Materi di atas mudah dipahami bukan?

Yuk kita pelajari bagaimana cara menentukan nilai akhir dari rente pranumerando dan rente postnumerando.

Rente Pranumerando

Nilai akhir dari rente pranumerando merupakan jumlah nilai akhir dari semua pembayaran angsuran pranumerando yang diperhitungkan pada akhir jangka waktu pembayaran.

Sebagai ilustrasi, misalkan pada setiap awal tahun Ida menabung sebesar Rp100.000.000,00 ke bank yang memberikan bunga sebesar 5% per tahun. Nah, kita akan menentukan jumlah tabungan Ida pada akhir tahun 2015 jika diketahui Ida telah menabung dengan cara seperti itu sejak tahun 2011.

Oleh karena sistem bunga yang digunakan pada bank konvensional adalah bunga majemuk, maka kita peroleh hasil sebagai berikut:

• angsuran pertama berbunga selama 5 tahun 
  → 100.000.000(1,05)5$\mathrm{100.000.000}(1,05{)}^5$
• angsuran kedua berbunga selama 4 tahun 
  → 100.000.000(1,05)4$\mathrm{100.000.000}(1,05{)}^4$
• angsuran ketiga berbunga selama 3 tahun 
  → 100.000.000(1,05)3$\mathrm{100.000.000}(1,05{)}^3$
• angsuran keempat berbunga selama 2 tahun 
  → 100.000.000(1,05)3$\mathrm{100.000.000}(1,05{)}^3$
• angsuran kelima berbunga selama 1 tahun 
  → 100.000.000(1,05)3$\mathrm{100.000.000}(1,05{)}^3$

Berdasarkan garis waktu di atas, tahukah kalian manakah yang dimaksud dengan nilai akhir rente?

Benar, nilai akhir rente adalah nilai akhir dari masing-masing angsuran.

Nah, nilai akhir rente pranumerando dari ilustrasi di atas adalah

NA$NA$
=100.000.000(1,05)+100.000.000(1,05)2+100.000.000(1,05)3+100.000.000(1,05)4+100.000.000(1,05)5$=\mathrm{100.000.000}\left(1,05\right)+\mathrm{100.000.000}{\left(1,05\right)}^2+\mathrm{100.000.000}{\left(1,05\right)}^3+\mathrm{100.000.000}{\left(1,05\right)}^4+\mathrm{100.000.000}{\left(1,05\right)}^5$

Jika kalian perhatikan, nilai akhir rente pranumerando dari ilustrasi di atas merupakan deret geometri, dengan suku pertama adalah a=100.000.000(1,05)$a=\mathrm{100.000.000}(1,05)$, rasio r=1,05$r=1,05$, dan banyak suku n=5$n=5$.

Nah, karena jumlah n$n$ suku pertama deret geometri adalah Sn=a(rn−1)(r−1)$S_n=a\frac{\left(r^n-1\right)}{\left(r-1\right)}$, maka

NA====S5a(r5−1)(r−1)100.000.000(1,05)(1,055−1)(1,05−1)580.191.280$\begin{array}{lll}NA& =& S_5\\ & =& a\frac{\left(r^5-1\right)}{\left(r-1\right)}\\ & =& \mathrm{100.000.000}\left(1,05\right)\frac{\left(1,{05}^5-1\right)}{\left(1,05-1\right)}\\ & =& \mathrm{580.191.280}\end{array}$

Berdasarkan hasil di atas, dapat disimpulkan bahwa jumlah tabungan Ida pada akhir tahun 2015 adalah Rp580.191.280,00.

Nah, tahukah kalian bagaimana cara menghitung nilai akhir rente pranumerando dengan besar angsuran M$M$, bunga i$i$, dan banyak angsuran n$n$?

Pertanyaan di atas dapat kita jawab dengan memperhatikan bentuk formula pada baris ketiga dari perhitungan nilai akhir rente pranumerando pada ilustrasi di atas.

→ NA=100.000.000(1,05)((1,05)5−1)(1,05−1)$NA=\mathrm{100.000.000}(1,05)\frac{((1,05{)}^5-1)}{(1,05-1)}$

Pada formula di atas,

• 100.000.000=M$\mathrm{100.000.000}=M$
• 0,05=5%=i$0,05=5\mathrm{\%}=i$
• 1,05−1=0,05=5%=i$1,05-1=0,05=5\mathrm{\%}=i$
• 1,05=1+0,05=1+i$1,05=1+0,05=1+i$
• 5=n$5=n$

Dengan demikian, dapat kita simpulkan bahwa formula untuk menghitung nilai akhir rente pranumerando adalah NA=M(1+i)((1+i)n−1)i$NA=M\left(1+i\right)\frac{\left({\left(1+i\right)}^n-1\right)}{i}$.

Rente Postnumerando

Nilai akhir rente postnumerando adalah jumlah semua pembayaran angsuran (berupa tabungan) yang dihitung pada akhir waktu pembayaran.

Sebagai ilustrasi, misalkan pada setiap tanggal 31 Desember Adi menabung sebesar Rp10.000.000,00 sebanyak 9 kali angsuran. Nah, kita akan menghitung besar simpanan Adi pada akhir tahun ke-9 jika diketahui suku bunga dari bank adalah 5% per tahun.

Oleh karena sistem bunga yang digunakan pada bank konvensional adalah bunga majemuk, maka kita peroleh hasil sebagai berikut:

• angsuran pertama berbunga selama 8 tahun 
  → 10.000.000(1,05)8$\mathrm{10.000.000}(1,05{)}^8$
• angsuran kedua berbunga selama 7 tahun 
  → 10.000.000(1,05)7$\mathrm{10.000.000}(1,05{)}^7$
• angsuran ketiga berbunga selama 6 tahun 
  → 10.000.000(1,05)6$\mathrm{10.000.000}(1,05{)}^6$
• angsuran keempat berbunga selama 5 tahun 
  → 10.000.000(1,05)5$\mathrm{10.000.000}(1,05{)}^5$
• angsuran kelima berbunga selama 4 tahun 
  → 10.000.000(1,05)4$\mathrm{10.000.000}(1,05{)}^4$
• angsuran keenam berbunga selama 3 tahun 
  → 10.000.000(1,05)3$\mathrm{10.000.000}(1,05{)}^3$
• angsuran ketujuh berbunga selama 2 tahun 
  → 10.000.000(1,05)2$\mathrm{10.000.000}(1,05{)}^2$
• angsuran kedelapan berbunga selama 1 tahun 
  → 10.000.000(1,05)1$\mathrm{10.000.000}(1,05{)}^1$
• angsuran kesembilan tidak berbunga 
  → 10.000.000$\mathrm{10.000.000}$

Perlu kalian ketahui, angsuran kesembilan tidak berbunga sebab Adi menabung tepat pada akhir tahun.

Nah, nilai akhir rente postnumerando dari ilustrasi di atas adalah

NA$NA$
=10.000.000+10.000.000(1,05)+10.000.000(1,05)2+...+10.000.000(1,05)7


+10.000.000(1,05)8$=\mathrm{10.000.000}+\mathrm{10.000.000}\left(1,05\right)+\mathrm{10.000.000}{\left(1,05\right)}^2+...+\mathrm{10.000.000}{\left(1,05\right)}^7+\mathrm{10.000.000}{\left(1,05\right)}^8$

Jika kalian perhatikan, nilai akhir rente postnumerando dari ilustrasi di atas ternyata juga merupakan deret geometri, dengan suku pertama adalah a=10.000.000$a=\mathrm{10.000.000}$, rasio r=1,05$r=1,05$, dan banyak suku n=9$n=9$.

Nah, karena jumlah n$n$ suku pertama deret geometri adalah Sn=a(rn−1)(r−1)$S_n=a\frac{\left(r^n-1\right)}{\left(r-1\right)}$, maka

NA====S9a(r9−1)(r−1)10.000.000(1,059−1)(1,05−1)110.265.643,20$\begin{array}{l}\mathrm{<br>}\end{array}$

$\begin{array}{lll}NA& =& S_9\\ & =& a\frac{\left(r^9-1\right)}{\left(r-1\right)}\\ & =& \mathrm{10.000.000}\frac{\left(1,{05}^9-1\right)}{\left(1,05-1\right)}\\ & =& \mathrm{110.265.643},20\end{array}$

Berdasarkan hasil di atas, dapat disimpulkan bahwa besar simpanan Adi pada akhir tahun ke-9 adalah Rp110.265.643,20.

Nah, tahukah kalian bagaimana cara menghitung nilai akhir rente postnumerando dengan besar angsuran M$M$, bunga i$i$, dan banyak angsuran n$n$?

Yuk kita perhatikan bentuk formula pada baris ketiga dari perhitungan nilai akhir rente postnumerando pada ilustrasi di atas.

→ NA=10.000.000((1,05)9−1)(1,05−1)$NA=\mathrm{10.000.000}\frac{((1,05{)}^9-1)}{(1,05-1)}$

Pada formula di atas, tampak bahwa

• 10.000.000=M$\mathrm{10.000.000}=M$
• 0,05=5%=i$0,05=5\mathrm{\%}=i$
• 1,05−1=0,05=5%=i$1,05-1=0,05=5\mathrm{\%}=i$
• 1,05=1+0,05=1+i$1,05=1+0,05=1+i$
• 9=n$9=n$

Dengan demikian, dapat kita simpulkan bahwa formula untuk menghitung nilai akhir rente postnumerando adalah NA=M((1+i)n−1)i$NA=M\frac{\left({\left(1+i\right)}^n-1\right)}{i}$.

Penjelasan di atas mudah dipahami bukan?

Nah, agar kalian semakin paham dengan materi di atas, yuk kerjakan sepuluh latihan soal yang ada dalam topik ini.