Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Penjumlahan dan Pengurangan Vektor - Untuk menggiring bola, pemain sepak bola memberikan gaya pada bola agar bola berpindah ke posisi yang dikehendaki. Gaya merupakan salah satu besaran vektor. Ini berarti, dalam proses tersebut pemain telah melakukan operasi matematika pada bola, yaitu menambahkan dan mengurangkan vektor gaya pada bola.

Sumber gambar: dokumen pribadi

Seperti halnya besaran lainnya, operasi matematika juga dapat dilakukan pada vektor diantaranya adalah penjumlahan dan pengurangan. Ada dua pendekatan yang digunakan untuk menentukan hasil operasi penjumlahan dan pengurangan vektor yaitu pendekatan grafis dan pendekatan matematis.

Pendekatan Grafis

Prinsip dasar pendekatan grafis pada operasi vektor adalah vektor tidak berubah jika posisinya digeser tanpa mengubah panjang dan arahnya. Mari simak penjelasan berikut agar kamu lebih paham.

       Misalkan terdapat dua yaitu vektor A⃗ danB⃗ $\overrightarrow{A}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{n}\overrightarrow{B}$ yang digambarkan sebagai ruas garis berarah seperti di bawah ini.

Hasil penjumlahan dan pengurangan vektor di atas dapat ditentukan dengan beberapa pendekatan salah satunya pendekatan grafis. Ada dua macam pendekatan grafis yang dapat digunakan untuk menentukan hasil operasi penjumlahan dan pengurangan vektor yaitu metode ujung ke pangkal (tip-to-tail method) dan metode jajargenjang.

Metode Ujung ke Pangkal (tip-to-tail method)

Metode ujung ke pangkal (tip-to-tail method) juga dikenal dengan metode segitiga.Untuk menjumlahkan kedua vektor yang dimaksud (A⃗ +B⃗ )$(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B})$, kita cukup menggesersalah satu vektor menuju vektor lainnya, sedemikian sehingga ujung (tip) salah satu vektor berimpit dengan pangkal (tail) vektor lainnya. Hasil penjumlahan (resultan) kedua vektor tersebut digambarkan sebagai berikut.

       Untuk mengurangkan kedua vektor misalnya A⃗ −B⃗ $\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}$, kita dapat memanfaatkan prinsip aljabar yaitu a - b = a + (-b). Ini berarti, kita cukup membalik arah vektor B⃗ $\overrightarrow{B}$menjadi −B−→−$\overrightarrow{-B}$ (invers penjumlahan vektor). Kemudian, gunakan metode tip-to-tail seperti halnya operasi penjumlahan vektor. Hasil pengurangan kedua vektor tersebut digambarkan seperti di bawah ini.

Metode Jajargenjang

Pada metode ini, kedua vektor digeser sehingga pangkal kedua vektor berimpit di satu titik, kemudian dilanjutkan dengan melengkapi gambar menjadi sebuahjajargenjang. Hasil penjumlahan (resultan) kedua vektor (A⃗ +B⃗ )$(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B})$ merupakandiagonal jajargenjang yang dilukis dari titik pangkal vektor yang berimpit. Resultan vektor tersebut digambarkan sebagai berikut.

       Untuk mengurangkan A⃗ $\overrightarrow{A}$ dengan B⃗ $\overrightarrow{B}$, langkah awalnya sama dengan metode tip-to-tail, yaitu membalik arah vektor B⃗ $\overrightarrow{B}$ menjadi −B⃗ $-\overrightarrow{B}$. Langkah selanjutnya adalah menggeserA⃗ dan−B⃗ $\overrightarrow{A}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{n}-\overrightarrow{B}$ agar pangkalnya berimpit. Terakhir, lengkapi gambar menjadi jajargenjang dengan menambahkan sisi yang sejajar dengan masing-masing vektor. Hasil pengurangan kedua vektor tersebut yang merupakan diagonal jajargenjang yaitu:

       Modifikasi kedua metode ini dapat diterapkan untuk operasi yang melibatkan lebih dari dua vektor di ruang dimensi 2 atau 3 seperti:

A⃗ +B⃗ +C⃗ +D⃗ +E⃗ +F⃗ +...=(A⃗ +B⃗ )+(C⃗ +D⃗ )+(E⃗ +F⃗ )+...$\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D}+\overrightarrow{E}+\overrightarrow{F}+...=(\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B})+(\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D})+(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{F})+...$

dan

A⃗ −B⃗ −C⃗ −D⃗ −E⃗ −F⃗ −...=(A⃗ −B⃗ )−(C⃗ +D⃗ )−(E⃗ +F⃗ )−...$\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}-\overrightarrow{C}-\overrightarrow{D}-\overrightarrow{E}-\overrightarrow{F}-...=(\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B})-(\overrightarrow{C}+\overrightarrow{D})-(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{F})-...$

Dengan kata lain, kamu cukup mengulang penjumlahan untuk setiap dua vektor secara terpisah.

Pendekatan Matematis

Pendekatan matematis dapat dipandang sebagai penyempurnaan pendekatan grafis. Prinsip dasar yang digunakan adalah menyatakan setiap vektor ke dalam komponen-komponen pembentuknya. Mari kita mulai dari suatu kasus umum pada ruang dimensi dua (R2 ).

       Misalkan dua buah vektor dinyatakan dalam komponen pembentuknya berupa A⃗ =⟨a1,a2⟩danB⃗ =⟨b1,b2⟩$\overrightarrow{A}=⟨a_1,a_2⟩\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{n}\overrightarrow{B}=⟨b_1,b_2⟩$, sehingga operasi penjumlahan dan pengurangan kedua vektor ini dapat didefinisikan sebagai berikut.

A⃗ +B⃗ =⟨a1,a2⟩+⟨b1,b2⟩=⟨a1+b1,a2+b2⟩$\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}=⟨a_1,a_2⟩+⟨b_1,b_2⟩=⟨a_1+b_1,a_2+b_2⟩$

A⃗ −B⃗ =⟨a1,a2⟩−⟨b1,b2⟩=⟨a1−b1,a2−b2⟩$\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}=⟨a_1,a_2⟩-⟨b_1,b_2⟩=⟨a_1-b_1,a_2-b_2⟩$

       Seperti halnya pendekatan grafis, pendekatan matematis juga dapat dimodifikasi untuk menghitung penjumlahan dan pengurangan yang melibatkan lebih dari dua vektor sebagai berikut.

Kelebihan dari pendekatan matematis adalah kita tidak harus menggambarkan vektor-vektor yang terlibat dalam perhitungan. Ini karena vektor-vektor yang memiliki dimensi lebih dari 3 tidak dapat digambarkan di atas kertas, sehingga pendekatan matematis berikut akan sangat berguna untuk operasi penjumlahan dan pengurangan di ruang dimensi n.

Lebih Jauh tentang Panjang Vektor

Perhatikan vektor dua dimensi OA−→−=⟨ax,ay⟩$\overrightarrow{OA}=⟨a_x,a_y⟩$ pada koordinat Cartesius berikut ini. Misalkan vektor tersebut membentuk sudut θ terhadap sumbu x.

Berdasarkan gambar di atas, panjang vektor OA−→−=⟨ax,ay⟩$\overrightarrow{OA}=⟨a_x,a_y⟩$ dapat dihitung dengan memanfaatkan dalil Pythagoras yaitu:

∣∣∣OA−→−∣∣∣=ax2+ay2‾‾‾‾‾‾‾‾‾√$\left|\overrightarrow{OA}\right|=\sqrt{{a_x}^2+{a_y}^2}$.

Besar sudut θ dapat dihitung dengan mengambil invers dari fungsi tangen sudutnya yaitu:

tanθ=ayax$\tan \theta =\frac{a_y}{a_x}$

⇔θ=tan−1(ayax)$\iff \theta ={\tan }^{-1}\left(\frac{a_y}{a_x}\right)$

Perhatikan gambar vektor OP−→−=⟨px,py,pz⟩$\overrightarrow{OP}=⟨p_x,p_y,p_z⟩$ pada ruang dimensi tiga berikut.

Panjang vektor OP−→−=⟨px,py,pz⟩$\overrightarrow{OP}=⟨p_x,p_y,p_z⟩$ adalah:

∣∣∣OP−→−∣∣∣=px2+py2+pz2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√$\left|\overrightarrow{OP}\right|=\sqrt{{p_x}^2+{p_y}^2+{p_z}^2}$,

sedangkan panjang vektor N⃗ =⟨n1,n2,n3,...,nn⟩$\overrightarrow{N}=⟨n_1,n_2,n_3,...,n_n⟩$ yang berdimensi n dapat dihitung dengan rumus:

∣∣N⃗ ∣∣=n21+n22+n23+...+n2n‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√$\left|\overrightarrow{N}\right|=\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2+...+n_n^2}$

✎Contoh 1

Diketahui vektor A⃗ ,B⃗ ,danC⃗ $\overrightarrow{A},\overrightarrow{B},\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{n}\overrightarrow{C}$ sebagai berikut.

Tentukan gambaran vektor A⃗ +B⃗ −C⃗ $\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}-\overrightarrow{C}$ berdasarkan pendekatan grafis.

Penyelesaian:

Metode yang digunakan adalah metode tip-to-tail.

Mula-mula, gambarkan vektor A⃗ +B⃗ $\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}$.

Selanjutnya, geser pangkal vektor −C⃗ $-\overrightarrow{C}$ agar berimpit di ujung resultan A⃗ +B⃗ $\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}$, sehingga diperoleh:

✎Contoh 2

Diketahui vektor A⃗ =⟨1,2,3⟩,B⃗ =⟨1,0,−1⟩,danC⃗ =⟨−3,2,−4⟩$\overrightarrow{A}=⟨1,2,3⟩,\overrightarrow{B}=⟨1,0,-1⟩,\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{n}\overrightarrow{C}=⟨-3,2,-4⟩$. Tentukan komponen vektor A⃗ +B⃗ −C⃗ $\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}-\overrightarrow{C}$.

Penyelesaian:

Penjumlahan vektor tersebut dapat dilakukan dengan mengoperasikan komponen-komponen yang bersesuaian dari setiap vektor sebagai berikut.

A⃗ +B⃗ −C⃗ =⟨1,2,3⟩+⟨1,0,−1⟩−⟨−3,2,−4⟩$\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}-\overrightarrow{C}=⟨1,2,3⟩+⟨1,0,-1⟩-⟨-3,2,-4⟩$

⇔A⃗ +B⃗ −C⃗ =⟨(1+1−(−3)),(2+0−2),(3+(−1)−(−4))⟩$\iff \overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}-\overrightarrow{C}=⟨(1+1-(-3)),(2+0-2),(3+(-1)-(-4))⟩$

⇔A⃗ +B⃗ −C⃗ =⟨5,0,6⟩$\iff \overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}-\overrightarrow{C}=⟨5,0,6⟩$

Jadi, A⃗ +B⃗ −C⃗ =⟨5,0,6⟩$\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}-\overrightarrow{C}=⟨5,0,6⟩$.

✎Contoh 3

Tentukan panjang dari vektor P⃗ =⟨5,0,6⟩$\overrightarrow{P}=⟨5,0,6⟩$.

Penyelesaian:

Dengan menggunakan rumus panjang vektor di peroleh:

∣∣P⃗ ∣∣=52+02+62‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√$\left|\overrightarrow{P}\right|=\sqrt{5^2+0^2+6^2}$

⇔∣∣P⃗ ∣∣=25+0+36‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√$\iff \left|\overrightarrow{P}\right|=\sqrt{25+0+36}$

⇔∣∣P⃗ ∣∣=61‾‾‾√$\iff \left|\overrightarrow{P}\right|=\sqrt{61}$

Jadi, ∣∣P⃗ ∣∣=61‾‾‾√$\left|\overrightarrow{P}\right|=\sqrt{61}$ satuan.

✎Contoh 4

Perhatikan diagram vektor berikut.

Gambarkan vektor AB−→+BC−→−+DC−→−+ED−→−+EF−→+AF−→$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{AF}$ berdasarkan pendekatan grafis.

Penyelesaian:

Permasalahan ini dapat kita sederhanakan dengan mengelompokkan vektor-vektor yang diketahui.

Perhatikan gambar berikut.

Berdasarkan gambar di atas, vektor-vektor dikelompokkan menjadi:

AB−→+BC−→−+AF−→+EF−→+(DC−→−+ED−→−)$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{EF}+\left(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{ED}\right)$.

Ingat bahwa, setiap vektor dapat digeser tanpa mengubah panjang dan arahnya.

Salah satu contoh gambaran yang diperoleh dengan menggunakan metode tip-to-tailadalah sebagai berikut.

Poin Penting

• Secara grafis, penjumlahan dan pengurangan vektor dilakukan dengan metodetip-to-tail dan jajargenjang.
• Secara matematis, penjumlahan dan pengurangan vektor dilakukan dengan mengoperasikan komponen-komponen yang bersesuaian dari masing-masing vektor.
• Panjang vektor N⃗ =⟨n1,n2,n3,...,nn⟩$\overrightarrow{N}=⟨n_1,n_2,n_3,...,n_n⟩$ adalah ∣∣N⃗ ∣∣=n21+n22+n23+...+n2n‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√$\left|\overrightarrow{N}\right|=\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2+...+n_n^2}$.
• Untuk sebarang vektor OA−→−=⟨ax–0,ay−0⟩$\overrightarrow{OA}=⟨a_x–0,a_y-0⟩$, besar sudut θ yang dibentuk oleh vektor dengan sumbu x ditentukan dengan menggunakan invers dari fungsi tangen sudut.
  θ=tan−1(ayax)