Nilai Tunai Rente

Nilai Tunai Rente - Dalam topik sebelumnya, kalian telah belajar tentang bagaimana cara menghitung nilai akhir rente. Nah, pada topik ini kalian akan belajar tentang bagaimana cara menghitung nilai tunai rente.

Apa kalian masih ingat dengan klasifikasi rente berdasarkan jangka waktu pembayarannya?

Ya, berdasarkan jangka waktu pembayarannya, rente dibedakan menjadi dua, yaitu

• rente pranumerando → pembayaran angsuran dilakukan pada tiap permulaan jangka waktu
• rente postnumerando → pembayaran angsuran dilakukan pada tiap akhir jangka waktu

Apa itu nilai tunai rente?

Pertanyaan di atas dapat kalian jawab setelah mencermati ilustrasi berikut.

Yayasan “Kasih Bunda” akan menerima bantuan uang dari bank secara berkala 

setiap jangka waktu tertentu, yaitu sebesar M$M$ rupiah, dengan suku bunga majemuk i$i$sebanyak n$n$ kali. 

Oleh karena yayasan ini membutuhkan dana secepatnya demi keperluan pembangunan, maka pemilik yayasan 

memutuskan untuk mengambil semua dana bantuan pada saat penerimaan pertama.

Nah, besar dana bantuan yang akan diterima oleh yayasan tersebut pada saat penerimaan 

pertama disebit nilai tunai rente.

Lantas, apa perbedaan antara nilai akhir dan nilai tunai rente?

Yuk temukan jawabannya dalam topik ini.

Nilai Tunai Rente Pranumerando

Nilai tunai rente pranumerando merupakan jumlah nilai tunai dari semua pembayaran angsuran pranumerando yang dihitung pada permulaan jangka waktu pembayaran pertama.

Sebagai ilustrasi, misalkan pada setiap awal tahun Rudi mempunyai kewajiban membayar

angsuran sebesar Rp10.000.000,00 ke bank selama sembilan tahun, dimulai pada tahun 2000. 

Diketahui bunga bank adalah 5% per tahun. Nah, kita akan menentukan besar uang yang harus 

dibayarkan Rudi jika Rudi hendak melunasi seluruh angsuran pada tahun pertama.

Oleh karena sistem bunga yang digunakan pada bank konvensional adalah bunga majemuk, maka kita peroleh hasil sebagai berikut:

Berdasarkan garis waktu di atas, tahukah kalian manakah yang dimaksud dengan nilai tunai rente?

Benar, nilai tunai rente adalah nilai tunai dari masing-masing angsuran.

Nah, nilai tunai rente pranumerando dari ilustrasi di atas adalah

NT=10.000.000+10.000.000(1,05)+
10.000.000(1,05)2+10.000.000(1,05)3+...+10.000.000(1,05)8
+10.000.000(1,05)9$\mathrm{<br>}$

$\mathrm{<br>}$

$NT=\mathrm{10.000.000}+\frac{\mathrm{10.000.000}}{\left(1,05\right)}+\frac{\mathrm{10.000.000}}{{\left(1,05\right)}^2}+\frac{\mathrm{10.000.000}}{{\left(1,05\right)}^3}+...+\frac{\mathrm{10.000.000}}{}$

$\frac{{\left(1,05\right)}^8}{}+\frac{\mathrm{10.000.000}}{{\left(1,05\right)}^9}$

Jika kalian perhatikan, nilai tunai rente pranumerando dari ilustrasi di atas merupakan deret geometri, dengan suku pertama adalah a=10.000.000(1,05)$a$

$=\mathrm{10.000.000}(1,05)$, rasio r
=11,05$r=\frac{1}{1,05}$, dan banyak suku n=10$n=10$.

Selanjutnya, karena jumlah n$n$ suku pertama deret geometri adalah Sn=a(1−rn)(1−r)${\mathrm{<br>}}_{}$

$S_n=a\frac{\left(1-r^n\right)}{\left(1-r\right)}$, maka

NT====S10a(1−r10)(1−r)10.000.000(1−1(1,05)10)(1−11,05)10.000.000×1,050,05×(1−1(1,05)10)&=81.078.900$\begin{array}{lll}NT& =& S_{10}\\ & =& a\frac{\left(1-r^{10}\right)}{}\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{\left(1-r\right)}{}\\ & =& \mathrm{10.000.000}\frac{\left(1-\frac{1}{{\left(1,05\right)}^{10}}\right)}{\left(1-\frac{1}{1,05}\right)}\\ & =& \mathrm{10.000.000}\times \frac{1,05}{0,05}\times \left(1-\frac{1}{{\left(1,05\right)}^{10}}\right)\mathrm{\&}=& \mathrm{81.078.900}\end{array}$

Berdasarkan hasil di atas, dapat disimpulkan bahwa besar uang yang harus dibayarkan Rudi jika Rudi hendak melunasi seluruh angsuran pada tahun pertama adalahRp81.078.900,00.

Nah, tahukah kalian bagaimana cara menghitung nilai tunai rente pranumerando dengan

 besar angsuran M$M$, bunga i$i$, dan banyak angsuran n$n$?

Pertanyaan di atas dapat kita jawab dengan memperhatikan bentuk formula pada baris keempat dari perhitungan nilai tunai rente pranumerando pada ilustrasi di atas.

→ NT=10.000.000×1,050,05×(1−1(1,05)10)$NT=\mathrm{10.000.000}\times \frac{1,05}{0,05}\times \left(1-\frac{1}{{\left(1,05\right)}^{10}}\right)$

Pada formula di atas, tampak bahwa

• 10.000.000=M$\mathrm{10.000.000}=M$
• 0,05=5%=i$0,05=5\mathrm{\%}=i$
• 1,05=1+i$1,05=1+i$
• 10=n$10=n$

Dengan demikian, dapat kita simpulkan bahwa formula untuk menghitung nilai tunai rente 

pranumerando adalah NT=M×(1+ii)×(1−1(1+i)n)$NT=M\times \left(\frac{1+i}{i}\right)\times \left(1-\frac{1}{{\left(1+i\right)}^n}\right)$.

Nilai Tunai Rente Postnumerando

Nilai tunai rente postnumerando adalah jumlah tunai semua pembayaran angsuran 

postnumerando yang dihitung pada awal waktu pembayaran pertama.

Sebagai ilustrasi, misalkan selama lima tahun, yaitu setiap tanggal 31 Desember, 

Asti mendapat bantuan keuangan untuk melanjutkan pendidikan sebesar Rp8.000.000,00, 

dengan bunga bank 4% per tahun. 

Nah, kita akan menentukan besar uang yang akan diterima Asti jika ia mengambil semua dana 

bantuan pada tahun pertama.

Oleh karena sistem bunga yang digunakan pada bank konvensional adalah bunga majemuk,

 maka kita peroleh hasil sebagai berikut:

Nah, nilai tunai rente postnumerando dari ilustrasi di atas adalah

NT=8.000.0001,04+8.000.000(1,04)2+8.000.000(1,04)3+8.000.000(1,04)4+8.000.000(1,04)5$NT=$

$\frac{\mathrm{8.000.000}}{1,04}+\frac{\mathrm{8.000.000}}{{\left(1,04\right)}^2}+\frac{\mathrm{8.000.000}}{{\left(1,04\right)}^3}+\frac{\mathrm{8.000.000}}{{\left(1,04\right)}^4}+\frac{\mathrm{8.000.000}}{{\left(1,04\right)}^5}$

Jika kalian perhatikan, nilai tunai rente postnumerando dari ilustrasi di atas ternyata 

juga merupakan deret geometri, dengan suku pertama adalah a=8.000.0001,04$a=\frac{\mathrm{8.000.000}}{1,04}$, rasio r=11,04$r=\frac{1}{1,04}$, dan banyak suku n=5$n=5$.

Nah, karena jumlah n$n$ suku pertama deret geometri adalah Sn=a(1−rn)(1−r)$S_n=a\frac{\left(1-r^n\right)}{\left(1-r\right)}$, maka

NT======S5a(1−r5)(1−r)8.000.0001,04×(1−1(1,04)5)(1−11,04)8.000.0001,04×1,040,04×(1−1(1,04)5)8.000.0000,04(1−1(1,04)5)35.614.578,65$\begin{array}{l}\mathrm{<br>}\end{array}$

$\begin{array}{lll}NT& =& S_5\\ & =& a\frac{\left(1-r^5\right)}{\left(1-r\right)}\\ & =& \frac{\mathrm{8.000.000}}{1,04}\times \frac{\left(1-\frac{1}{{\left(1,04\right)}^5}\right)}{}\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{\left(1-\frac{1}{1,04}\right)}{}\\ & =& \frac{\mathrm{8.000.000}}{1,04}\times \frac{1,04}{0,04}\times \left(1-\frac{1}{{\left(1,04\right)}^5}\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}<br>\end{array}$

$\begin{array}{lll}& =& \frac{\mathrm{8.000.000}}{0,04}\left(1-\frac{1}{{\left(1,04\right)}^5}\right)\\ & =& \mathrm{35.614.578},65\end{array}$

Berdasarkan hasil di atas, dapat disimpulkan bahwa besar uang yang akan diterima Asti jika 

ia mengambil semua dana bantuan pada tahun pertama adalahRp35.614.578,65.

Nah, tahukah kalian bagaimana cara menghitung nilai tunai rente postnumerando dengan 

besar angsuran M$M$, bunga i$i$, dan banyak angsuran n$n$?

Yuk kita perhatikan bentuk formula pada baris kelima dari perhitungan nilai tunai rente

 postnumerando pada ilustrasi di atas.

→ NT=8.000.0000,04(1−1(1,04)5)$NT=\frac{\mathrm{8.000.000}}{0,04}\left(1-\frac{1}{{\left(1,04\right)}^5}\right)$

Pada formula di atas, tampak bahwa

• 8.000.000=M$\mathrm{8.000.000}=M$
• 0,04=4%=i$0,04=4\mathrm{\%}=i$
• 1,04=1+0,04=1+i$1,04=1+0,04=1+i$
• 5=n$5=n$

Dengan demikian, dapat kita simpulkan bahwa formula untuk menghitung nilai tunai rente 

postnumerando adalah NT=Mi(1−1(1+i)n)$NT=\frac{M}{i}\left(1-\frac{1}{{\left(1+i\right)}^n}\right)$.

Penjelasan di atas mudah dipahami bukan?

Yuk kerjakan sepuluh latihan soal yang ada dalam topik ini untuk menguji pemahaman kalian.