Perbandingan Vektor

Perbandingan Vektor - Tahukah kamu bahwa posisi sebuah pesawat terbang yang sedang mengudara dinyatakan dalam sebuah koordinat? Koordinat tersebut memuat informasi berupa jarak pesawat terhadap garis lintang dan bujur bumi serta ketinggian jelajah. Berbeda dengan transportasi darat, dalam transportasi udara, informasi seperti “pesawat telah menempuh jarak 100 km” bukan merupakan informasi yang lengkap. Informasi ini akan membingungkan pengawas penerbangan karena terdapat banyak sekali kemungkinan arah jelajah pesawat terbang tersebut.

        Nah, pada topik ini, kamu akan melihat bahwa konsep vektor sangat berguna untuk mendapatkan koordinat pesawat dari jarak yang telah dan akan dia tempuh. Penasaran bagaimana kegunaannya? Mari simak topik ini dengan saksama.

📂 Pendahuluan

☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳

Coba perhatikan diagram rute perjalanan yang menghubungkan 5 kota berikut ini.

        Misalnya kita ingin mencari semua rute tak-langsung yang mungkin dari kota B ke kota E. Dari kota B ke kota E, terdapat beberapa jalur yang dapat kita gunakan. Jalur-jalur tersebut ditunjukan dalam persamaan vektor berikut.

BE−→=−AB−→+AE−→BE−→=BC−→−+(−EC−→−)BE−→=−AB−→+AD−→−+(−ED−→−)BE−→=BC−→−+(−DC−→−)+(−ED−→−)$\begin{array}{l}\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}\\ \overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+(-\overrightarrow{EC})\\ \overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+(-\overrightarrow{ED})\\ \overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+(-\overrightarrow{DC})+(-\overrightarrow{ED})\end{array}$

Tanda negatif pada vektor tersebut berarti kita harus menempuh arah berlawanan dari arah yang diberikan. Jadi, menempuh −AB→$-\overrightarrow{AB}$ sama maksudnya dengan menempuh BA→$\overrightarrow{BA}$.

        Konsep vektor yang mewakili rute tak-langsung ini akan sangat berguna bagi kamu untuk mempelajari topik ini dan topik-topik selanjutnya. Selain konsep tersebut, beberapa konsep penting yang perlu kamu ingat adalah sebagai berikut.

🌹 Suatu vektor dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan atau pengurangan beberapa vektor.

🌹 Suatu vektor dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian vektor dengan suatu skalar.

🌹 Setiap vektor pada koordinat kartesius selalu dapat dinyatakan sebagai pengurangan vektor-vektor yang berpangkal di titik asal. Dengan kata lain, untuk sebarang vektor AB→$\overrightarrow{AB}$ kita selalu dapat menuliskan AB→=OB→−OA→$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$.

💠 Koordinat Titik pada Suatu Ruas Garis

☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳

Mari kita mulai pembelajaran kali ini dari suatu kasus umum yang sederhana pada ruang dimensi 2 (R2). Misalkan kita ingin mencari koordinat dari suatu titik M yang berada di antara titik A dan B. Katakanlah kita mengetahui jarak titik M terhadap titik A(ax,ay)$A(a_x,a_y)$ dan titik B(bx,by)$B(b_x,b_y)$ masing masing sejauh m satuan dan n satuan.

Perhatikan gambar berikut.

        Untuk menentukan koordinat titik M, kita harus menyatakan masalah ini ke dalam diagram vektor yang mengacu pada titik asal. Adapun diagram vektor dari masalah ini ditunjukan dalam gambar berikut.

        Secara tidak langsung, apabila kita dapat menentukan vektor OM→$\overrightarrow{OM}$, maka kita juga dapat menentukan koordinat dari M(mx,my)$M(m_x,m_y)$. Seperti halnya saat kamu menentukan rute tak-langsung di awal topik ini, vektor OM→$\overrightarrow{OM}$ juga dapat ditentukan dengan cara yang sama, yaitu:

OM−→−=OA−→−+AM−→−$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}$

        Dengan memanfaatkan perbandingan jarak titik M ke titik A dan B, kita dapat menentukan vektor OM→$\overrightarrow{OM}$ sebagai berikut.

OM−→−=OA−→−+AM−→−⇔OM−→−=OA−→−+mm+nAB−→⇔OM−→−=OA−→−+mm+n(OB−→−−OA−→−)⇔OM−→−=OA−→−+mm+nOB−→−−mm+nOA−→−⇔OM−→−=m+nm+nOA−→−+mm+nOB−→−−mm+nOA−→−⇔OM−→−=nm+nOA−→−+mm+nOB−→−⇔OM−→−=nOA−→−+mOB−→−m+n$\begin{array}{l}\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}\\ \iff \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{AB}\\ \iff \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\frac{m}{m+n}(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\\ \iff \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{OB}-\frac{m}{m+n}\overrightarrow{OA}\\ \iff \overrightarrow{OM}=\frac{m+n}{m+n}\overrightarrow{OA}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{OB}-\frac{m}{m+n}\overrightarrow{OA}\\ \iff \overrightarrow{OM}=\frac{n}{m+n}\overrightarrow{OA}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{OB}\\ \iff \overrightarrow{OM}=\frac{n\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}}{m+n}\end{array}$

Dari vektor OM→$\overrightarrow{OM}$ ini, kita dapat menentukan koordinat dari titik M yaitu:

OM−→−=nOA−→−+mOB−→−m+nOM−→−=n⟨ax,ay⟩+m⟨bx,by⟩m+nOM−→−=⟨nax,nay⟩+⟨mbx,mby⟩m+nOM−→−=⟨nax+mbx,nay+mby⟩m+nOM−→−=⟨nax+mbxm+n,nay+mbym+n⟩$\begin{array}{l}\overrightarrow{OM}=\frac{n\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}}{m+n}\\ \overrightarrow{OM}=\frac{n⟨a_x,a_y⟩+m⟨b_x,b_y⟩}{m+n}\\ \overrightarrow{OM}=\frac{⟨n{a}_x,n{a}_y⟩+⟨m{b}_x,m{b}_y⟩}{m+n}\\ \overrightarrow{OM}=\frac{⟨n{a}_x+m{b}_x,n{a}_y+m{b}_y⟩}{m+n}\\ \overrightarrow{OM}=⟨\frac{n{a}_x+m{b}_x}{m+n},\frac{n{a}_y+m{b}_y}{m+n}⟩\end{array}$

Jadi koordinat dari titik M adalah:

Untuk titik-titik yang berada dalam ruang yang berdimesi lebih dari 2, kamu dapat melakukan perluasan (generalisasi) terhadap penjabaran di atas.

🎯 Titik pada ruang dimensi 3 (R3)

Koordinat titik M(mx,my,mz)$M(m_x,m_y,m_z)$ yang berjarak m dan n masing-masing terhadap titik A(ax,ay,az)$A(a_x,a_y,a_z)$ dan titik B(bx,by,bz)$B(b_x,b_y,b_z)$ dapat ditentukan dengan cara berikut:

🎯 Titik pada ruang dimensi 4 (R4)

Koordinat titik M(m1,m2,m3.m4)$M(m_1,m_2,m_3.m_4)$ yang berjarak m dan n masing-masing terhadap titik A(a1,a2,a3,a4)$A(a_1,a_2,a_3,a_4)$ dan titik B(b1,b2,b3,b4)$B(b_1,b_2,b_3,b_4)$ dapat ditentukan dengan cara berikut:

Kamu dapat melanjutkan perluasan ini untuk dimensi yang lebih tinggi.

💠 Posisi titik M pada ruas garis AB

☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳

Perhatikan bahwa terdapat dua kemungkinan posisi dari titik M pada garis AB yaitu, di antara (di dalam) titik A dan B atau di luar titik A dan B.

🍇 Titik M di dalam AB→$\overrightarrow{AB}$

🍇 Titik M di luar AB→$\overrightarrow{AB}$

        Posisi titik M pada garis AB akan sangat mempengaruhi hasil perhitungan kamu saat menentukan koordinat titik tersebut. Oleh karena itu, gambarkan dahulu masalah pada soal sebelum kamu melakukan perhitungan. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.

☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳

☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳☳

⓵ Titik M berada pada ruas garis AB sedemikian sehingga perbandingan jarak AM : MB = 4 : 1. Apabila koordinat titik A(-1, 7) dan B(4, 2), maka koordinat titik M adalah ....

Penyelesaian:

Mula-mula, gambarkan dahulu masalah tersebut pada bidang Cartesius.

Oleh karena titik M membagi ruas garis AB di dalam dengan perbandingan 4 : 1, maka berlaku AM : MB = 4 : 1. Dengan demikian, koordinat titik M dapat ditentukan dengan cara berikut.

M(1.(−1)+4.44+1,1.7+4.24+1)=M(155,155)=M(3,3)$M\left(\frac{1.(-1)+4.4}{4+1},\frac{1.7+4.2}{4+1}\right)=M\left(\frac{15}{5},\frac{15}{5}\right)=M(3,3)$

Koordinat titik M juga dapat ditentukan melalui analisis berikut.

OM−→−=OA−→−+AM−→−⇔OM−→−=⟨−1,7⟩+44+1AB−→⇔OM−→−=⟨−1,7⟩+45(OB−→−+(−OA−→−))⇔OM−→−=⟨−1,7⟩+45(OB−→−−OA−→−)⇔OM−→−=⟨−1,7⟩+45(⟨4,2⟩−⟨−1,7⟩)⇔OM−→−=⟨−1,7⟩+45⟨5,−5⟩⇔OM−→−=⟨−1,7⟩+⟨4,−4⟩⇔OM−→−=⟨3,3⟩$\begin{array}{l}\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}\\ \iff \overrightarrow{OM}=⟨-1,7⟩+\frac{4}{4+1}\overrightarrow{AB}\\ \iff \overrightarrow{OM}=⟨-1,7⟩+\frac{4}{5}(\overrightarrow{OB}+(-\overrightarrow{OA}))\\ \iff \overrightarrow{OM}=⟨-1,7⟩+\frac{4}{5}(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\\ \iff \overrightarrow{OM}=⟨-1,7⟩+\frac{4}{5}(⟨4,2⟩-⟨-1,7⟩)\\ \iff \overrightarrow{OM}=⟨-1,7⟩+\frac{4}{5}⟨5,-5⟩\\ \iff \overrightarrow{OM}=⟨-1,7⟩+⟨4,-4⟩\\ \iff \overrightarrow{OM}=⟨3,3⟩\end{array}$

Jadi, koordinat titik M adalah (3, 3).

⓶ Terdapat tiga titik segaris yaitu A(0, 5), B(3, 2), dan M sedemikian sehingga M terletak pada perpanjangan garis AB pada arah B. Apabila jarak AM berbanding jarak MB adalah 5 : 2, maka koordinat titik M adalah ....

Penyelesaian:

Mula-mula, gambarkan dahulu masalah tersebut pada bidang Cartesius.

Oleh karena titik M membagi ruas garis AB di luar dengan perbandingan 5 : 2, maka berlaku AM : MB = 5 : (-2). Dengan demikian, koordinat titik M dapat ditentukan dengan cara berikut.

M(5.(3)+(−2).05+(−2),5.2+(−2).55+(−2))=M(153,03)=M(5,0)$M\left(\frac{5.(3)+(-2).0}{5+(-2)},\frac{5.2+(-2).5}{5+(-2)}\right)=M\left(\frac{15}{3},\frac{0}{3}\right)=M(5,0)$

Koordinat titik M juga dapat ditentukan melalui analisis berikut.

Mula-mula, tentukan BM→$\overrightarrow{BM}$.

BM⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯AB⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯=25−2⇔BM⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯AB⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯=23⇔BM⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯=23AB⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯$\begin{array}{l}\frac{\overline{BM}}{\overline{AB}}=\frac{2}{5-2}\\ \iff \frac{\overline{BM}}{\overline{AB}}=\frac{2}{3}\\ \iff \overline{BM}=\frac{2}{3}\overline{AB}\end{array}$

Kemudian, tentukan OM→$\overrightarrow{OM}$

OM−→−=OB−→−+BM−→−⇔OM−→−=OB−→−+23AB−→⇔OM−→−=OB−→−+23(OB−→−−OA−→−)⇔OM−→−=⟨3,2⟩+23(⟨3,2⟩−⟨0,5⟩)⇔OM−→−=⟨3,2⟩+23⟨3,−3⟩⇔OM−→−=⟨3,2⟩+⟨2,−2⟩⇔OM−→−=⟨5,0⟩$\begin{array}{l}\stackrel{}{\mathrm{<br>}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BM}\\ \iff \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\\ \iff \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OB}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff \overrightarrow{OM}=⟨3,2⟩+\frac{2}{3}(⟨3,2⟩-⟨0,5⟩)\\ \iff \overrightarrow{OM}=⟨3,2⟩+\frac{2}{3}⟨3,-3⟩\\ \iff \overrightarrow{OM}=⟨3,2⟩+⟨2,-2⟩\\ \iff \overrightarrow{OM}=⟨5,0⟩\end{array}$

Jadi, koordinat titik M adalah (5, 0).