Menghitung Volume Benda Putar dengan Metode Cincin

Menghitung Volume Benda Putar dengan Metode Cincin - Tahukah kalian bagaimana menentukan volume benda putar?

Perlu kalian ketahui, volume benda putar dapat ditentukan dengan menggunakan tiga metode, yaitu

• metode cakram
• metode cincin
• metode kulit/selimut tabung

Nah, dalam topik kali ini kalian akan belajar menentukan volume benda putar dengan menggunakan metode cincin.

Tahukah kalian apa yang dimaksud dengan metode cincin?

Yuk kita perhatikan ilustrasi di bawah ini.

Jika daerah berwarna biru pada ilustrasi di atas kita putar mengelilingi sumbu X$X$ sejauh 360°$360°$, maka akan kita peroleh benda putar dengan ilustrasi sebagai berikut:

Nah, jika benda putar tersebut kita iris tegak lurus dengan sumbu X$X$, maka bidang irisan yang akan kita peroleh berbentuk seperti cincin, seperti ditunjukkan oleh ilustrasi berikut.

Tahukah kalian berapa jari-jari cincin tersebut?

Ya, berdasarkan ilustrasi di atas, jari-jari luar dan jari-jari dalam dari cincin yang terbentuk berturut-turut adalah g(x)$g(x)$ dan f(x)$f(x)$. Adapun ketebalan cincin adalah ∆x$∆x$.

Coba tebak, berapakah volume cinci pada ilustrasi di atas?

Benar sekali. Karena cincin tersebut berbentuk tabung, maka volumenya dapat ditentukan sebagai berikut:

ΔV===Vtabung besar−Vtabung kecilπR2Δx−πr2Δxπ(f(x)2−g(x)2)Δx$\begin{array}{lll}\mathrm{\Delta }V& =& V_{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{r}}-V_{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{l}}\\ & =& \pi R^2\mathrm{\Delta }x-\end{array}$

$\begin{array}{l}\pi r^2\mathrm{\Delta }x\\ & =& \pi \left(f{(x)}^2-g{(x)}^2\right)\mathrm{\Delta }x\end{array}$

Nah, untuk menentukan volume benda putar yang sebenarnya, bidang irisan haruslah semakin tipis. Dengan kata lain, ∆x$∆x$ haruslah semakin kecil.

Berdasarkan konsep jumlah Riemann, jumlah volume dari seluruh cincin yang terbentuk adalah π∑x(f(x)2−g(x)2)Δx$\pi \sum _x(f{(x)}^2-g{(x)}^2)\mathrm{\Delta }x$.

Nah, jika ∆x→0$∆x\to 0$, maka volume benda putar adalah V=π∫ab(f(x)2−g(x)2)dx$V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}\left(f{(x)}^2-g{(x)}^2\right)dx$.

Ingat, dalam rumus di atas, kurva f(x)$f(x)$ berada di atas kurva g(x)$g(x)$.

Agar kalian semakin paham dengan metode cincin, yuk kita cermati beberapa contoh soal berikut ini.

Contoh 1

Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh garis y=2x$y=2x$, garis y=6$y=6$, dan sumbu Y$Y$ diputar mengelilingi sumbu X$X$ sejauh 360° dengan menggunakan metode cincin.

Penyelesaian:

Sketsa dari daerah yang dimaksud dalam soal adalah sebagai berikut:

Oleh karena daerah yang terbentuk diputar mengelilingi sumbu X$X$, maka yang menjadi batas integrasi adalah x$x$, dari 0$0$ sampai 3$3$.

Dengan demikian,

ΔV==π(62−(2x)2)Δxπ(36−4x2)Δx$\begin{array}{lll}\mathrm{\Delta }V& =& \pi (6^2-{\left(2x\right)}^2)\mathrm{\Delta }x\\ & =& \pi (36-4x^2)\mathrm{\Delta }x\end{array}$

V====π∫03(36−4x2)dxπ[36x−43x3]30π(36(3)−43(27))72π$\begin{array}{lll}V& =& \pi \underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(36-4x^2\right)dx\\ & =& \pi {\left[36x-\frac{4}{3}{x}^3\right]}_0^3\\ & =& \pi \left(36\left(3\right)-\frac{4}{3}\left(27\right)\right)\\ & =& 72\pi \end{array}$

Jadi, volume benda putar yang terjadi adalah 72π$72\pi$.

Contoh 2

Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y=9−x2‾‾‾‾‾‾√$y=\sqrt{9-x^2}$, garis x=1$x=1$, dan sumbu X$X$ diputar mengelilingi sumbu Y$Y$ sejauh 360° dengan menggunakan metode cincin.

Penyelesaian:

Jika x=1$x=1$, maka y=8‾√$y=\sqrt{8}$.

Dengan demikian, ordinat titik potong antara kurva y=9−x2‾‾‾‾‾‾√$y=\sqrt{9-x^2}$, garis x=1$x=1$ adalah y=8‾√$y=\sqrt{8}$.

Oleh karena daerah yang terbentuk diputar mengelilingi sumbu Y$Y$, maka yang menjadi batas integrasi adalah y$y$, dari 0$0$ sampai 8‾√$\sqrt{8}$.

Dengan demikian, persamaan kurva harus diubah ke dalam varibel y$y$.

y=9−x2‾‾‾‾‾‾√ ⇔y2=9−x2⇔x2=9−y2⇔x=±9−y2‾‾‾‾‾‾√$\begin{array}{l}y=\sqrt{9-x^2}\iff y^2=9-x^2\\ \iff x^2=9-y^2\\ \iff x=\pm \sqrt{9-y^2}\end{array}$

Nah, karena daerah yang akan diputar berada di kuadran I, maka persamaan kurva adalah x=9−y2‾‾‾‾‾‾√$x=\sqrt{9-y^2}$.

Dengan demikian,

ΔV===π((9−y2‾‾‾‾‾‾√)2−12)Δyπ(9−y2−1)Δyπ(8−y2)Δy$\begin{array}{lll}\mathrm{\Delta }V& =& \pi \left({\left(\sqrt{9-y^2}\right)}^2-1^2\right)\mathrm{\Delta }y\\ & =& \pi \left(9-y^2-1\right)\mathrm{\Delta }y\\ & =& \pi (8-y^2)\mathrm{\Delta }y\end{array}$

V=====π∫08√(8−y2)dyπ[8y−13y3]8√0π(88‾√−13(88‾√))π(162‾√−1632‾√)3232‾√π$\begin{array}{lll}V& =& \pi \underset{0}{\overset{\sqrt{8}}{\int }}\left(8-y^2\right)dy\\ & =& \pi {\left[8y-\frac{1}{3}{y}^3\right]}_0^{\sqrt{8}}\\ & =& \pi \left(8\sqrt{8}-\frac{1}{3}\left(8\sqrt{8}\right)\right)\\ & =\end{array}$

$\begin{array}{l}\pi \left(16\sqrt{2}-\frac{16}{3}\sqrt{2}\right)\\ & =& \frac{32}{3}\sqrt{2}\pi \end{array}$

Jadi, volume benda putar yang terjadi adalah 3232‾√$\frac{32}{3}\sqrt{2}$ satuan volume.

Yuk kerjakan latihan soal dalam topik ini untuk menguji tingkat pemahaman kalian.