Refleksi terhadap Garis y = -x

Refleksi terhadap Garis y = -x - Apakah kalian tahu perbedaan hasil refleksi suatu titik terhadap garis y = x dan y = -x?

Mari kita cari tahu perbedaannya dalam topik ini.

Konsep Dasar

Untuk memudahkan pemahaman kalian mengenai konsep refleksi terhadap garis y = -x, mari kita perhatikan gambar berikut.

Pada gambar di atas, tampak bahwa bayangan titik P(a, b) jika direfleksikan terhadap garis y = -x adalah titik P’(-b, -a).

Dengan demikian, dapat kita simpulkan bahwa bayangan titik (x, y) oleh refleksi terhadap garis y = x adalah (x' , y') = (-y, -x).

Selanjutnya, karena

• x’ = y = (0)x + (-1)y
• y’ = x = (-1)x + (0)y

maka kita peroleh persamaan matriks sebagai berikut: (x′y′ )=(0−1−10 )(xy )$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$.

Apa yang dapat kamu simpulkan dari persamaan matriks di atas?

Ya, matriks transformasi refleksi terhadap garis y = -x adalah (0−1−10 )$\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right)$.

Nah, agar kalian semakin paham, mari kita cermati contoh soal berikut.

Contoh 1:

Tentukan bayangan titik A(2, 5) dan B(-3, 7) jika direfleksikan terhadap garis y = -x.

Penyelesaian:

Jika X adalah matriks hasil transformasi, maka

X$X$

=(0−1−10 )(25−37 )$=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}2& -3\\ 5& 7\end{array}\right)$

=(−5−2−73 )$=\left(\begin{array}{ll}-5& -7\\ -2& 3\end{array}\right)$

Dengan demikian, bayangan titik A(2, 5) dan B(-3, 7) oleh refleksi terhadap garis y = -xadalah A(-5, 2) dan B(-7, 3).

Coba tebak, bagaimana hasil refleksi suatu garis terhadap garis y = -x?

Sama halnya dengan releksi terhadap garis y = x, hasil refleksinya juga berupa garis.

Mari kita buktikan melalui contoh berikut.

Contoh 2:

Tentukan bayangan garis y = 4x – 5 jika direfleksikan terhadap garis y = x.

Penyelesaian:

Jika (x', y') adalah koordinat titik bayangan dari titik (x, y) oleh refleksi terhadap garis y = x, maka berdasarkan eliminasi Gauss-Jordan kita peroleh hasil sebagai berikut:

(0−1−10 ∣∣∣x′y′ )$(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}|\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array})$ R2↔R1$R_2\leftrightarrow R_1$ (−100−1 ∣∣∣y′x′ )$(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}|\begin{array}{c}{y}^{\prime }\\ x^{\prime }\end{array})$ −R1$-R_1$ (100−1 ∣∣∣−y′x′ )$(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}|\begin{array}{c}-y^{\prime }\\ x^{\prime }\end{array})$ −R2$-R_2$ (1001 ∣∣∣−y′−x′ )$(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}|\begin{array}{c}-y^{\prime }\\ -x^{\prime }\end{array})$

Berdasarkan bentuk di atas, dapat kita simpulkan bahwa x = -y' dan y = -x'.

Jika kita subtitusikan variabel x dan y ke dalam persamaan garis y = 4x – 5, maka kita peroleh hasil sebagai berikut:

y=4x−5⇔−x′=−4y′−5⇔x′=4y′+5  $\begin{array}{rl}& y=4x-5\\ & \iff -x^{\prime }=-4y^{\prime }-5\\ & \iff x^{\prime }=4y^{\prime }+5\end{array}$

Dengan demikian, bayangan garis y = 4x – 5 oleh refleksi garis y = -x adalah x = 4y + 5.

Apakah kalian sudah jelas?

Ayo uji pemahaman kalian dengan mengerjakan latihan soal dalam topik ini.