Penggabungan Refleksi dan Translasi terhadap Garis x = h

Penggabungan Refleksi dan Translasi terhadap Garis x = h - Pada topik yang telah lalu, kalian telah belajar mengenai translasi dan refleksi.

Apakah kalian masih ingat?

Kedua materi tersebut akan kita pelajari lagi dalam topik ini, yaitu dalam bentuk gabungan.

Yuk kita ingat kembali kedua materi tersebut.

Translasi

Seperti yang telah kalian pelajari, translasi (pergeseran) adalah suatu transformasi dengan jarak dan arah yang tetap.

Hasil translasi titik A(x,y)$A(x,y)$ oleh T(ab )$T\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ adalah titik A(x+a,y+b)$A(x+a,y+b)$.

Nah, notasi untuk translasi tersebut adalah sebagai berikut:

A(x,y)−→−−−(ab )A′(x+a,y+b)$A(x,y)\stackrel{\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)}{\to }{A}^{\prime }(x+a,y+b)$

Contoh 1:

Diketahui ∆OAB$∆OAB$ dengan koordinat titik O(0,0)$O(0,0)$, A(−2,4)$A(-2,4)$, dan B(5,3)$B(5,3)$. Tentukan koordinat bayangan dari ketiga titik sudut ∆OAB$∆OAB$ oleh translasi T=(13 )$T=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)$.

Penyelesaian:

O(0,0)−→−−−(13 )O′(0+1,0+3)=O′(1,3)$O(0,0)\stackrel{\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)}{\to }{O}^{\prime }(0+1,0+3)=O^{\prime }(1,3)$

A(−2,4)−→−−−(13 )A′(−2+1,4+3)=A′(−1,7)$A(-2,4)\stackrel{\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)}{\to }{A}^{\prime }(-2+1,4+3)=A^{\prime }(-1,7)$

B(5,3)−→−−−(13 )B′(5+1,3+3)=B′(6,6)$B(5,3)\stackrel{\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)}{\to }{B}^{\prime }(5+1,3+3)=B^{\prime }(6,6)$

Berdasarkan uraian di atas, koordinat bayangan dari ketiga titik sudut ∆OAB$∆OAB$ oleh translasi T=(13 )$T=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)$ adalah O′(1,3)$O^{\prime }(1,3)$, A′(−1,7)$A^{\prime }(-1,7)$, dan B′(6,6)$B^{\prime }(6,6)$.

Bagaimanakah hasil translasi suatu garis/kurva?

Yuk kita cari tahu jawabannya dengan mencermati contoh 2 berikut.

Contoh 2:

Tentukan bayangan lingkaran x2+y2=16$x^2+y^2=16$ oleh translasi (−23 )$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\end{array}\right)$.

Penyelesaian:

Langkah pertama untuk menyelesaikan soal di atas adalah menentukan bayangan titik (x,y)$(x,y)$ terhadap translasi (−23 )$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\end{array}\right)$.

(x,y)−→−−−−(−2 3 )(x′,y′)=(x−2,y+3)$(x,y)\stackrel{\left(\begin{array}{c}-23\end{array}\right)}{\to }(x^{\prime },y^{\prime })=(x-2,y+3)$

Langkah kedua adalah menentukan hubungan antara variabel x$x$, x″$x^{″}$, y$y$, dan y″$y^{″}$.

Berdasarkan hasil pada langkah pertama, kita ketahui bahwa

• x″=x−2⇔x=x″+2$x^{″}=x-2\iff x=x^{″}+2$
• y″=y+3⇔y=y″−3$y^{″}=y+3\iff y=y^{″}-3$

Langkah ketiga adalah mensubtitusikan hasil dari langkah kedua ke persamaan kurva.

x2+y2=16$x^2+y^2=16$ 
⇔(x″+2)2+(y″−3)2=16$\iff {(x^{″}+2)}^2+{(y^{″}-3)}^2=16$
⇔(x″)2+4x″+4+(y″)2−6y″+9−16=0$\iff {\left(x^{″}\right)}^2+4x^{″}+4+{\left(y^{″}\right)}^2-6y^{″}+9-16=0$
⇔(x″)2+(y″)2+4x″−6y″−3=0$\iff {\left(x^{″}\right)}^2+{\left(y^{″}\right)}^2+4x^{″}-6y^{″}-3=0$

Berdasarkan hasil pada langkah ketiga di atas, dapat disimpulkan bahwa bayangan lingkaran x2+y2=16$x^2+y^2=16$ oleh translasi (−23 )$\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\end{array}\right)$ adalah x2+y2+4x−6y−3=0$x^2+y^2+4x-6y-3=0$.

Mudah dipahami bukan?

Refleksi Terhadap Garis x = h

Apakah kalian masih ingat dengan rumus refleksi (pencerminan) terhadap garis x = h?

Ya, hasil refleksi titik A(x,y)$A(x,y)$ oleh refleksi terhadap garis x=h$x=h$ adalah A′(2h−x,y)$A^{\prime }(2h-x,y)$.

Adapun notasi matematis dari hubungan di atas adalah sebagai berikut: A(x,y)−→−−Mx=hA′(2h−x,y)$A(x,y)\stackrel{M_{x=h}}{\to }{A}^{\prime }(2h-x,y)$.

Nah, bagaimanakah bentuk persamaan matriksnya?

Benar, bentuk persamaan matriksnya adalah (x′y′ )=(−1001 )(xy )+(2h0 )$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2h\\ 0\end{array}\right)$.

Yuk perhatikan contoh berikut agar kalian semakin jelas.

Contoh 3:

Tentukan bayangan titik A(3,−6)$A(3,-6)$ dan B(−5,2)$B(-5,2)$ jika kedua titik tersebut direfleksikan terhadap garis x−4$x-4$.

Penyelesaian:

Oleh karena kedua titik dicerminkan terhadap garis x−4$x-4$, maka h=4$h=4$.

Selanjutnya, karena A(x,y)−→−−Mx=hA′(2h−x,y)$A(x,y)\stackrel{M_{x=h}}{\to }{A}^{\prime }(2h-x,y)$, maka

• A(3,−6)−→−−Mx=4A′(2(4)−3,−6)=A′(5,−6)$A(3,-6)\stackrel{M_{x=4}}{\to }{A}^{\prime }(2\left(4\right)-3,-6)=A^{\prime }(5,-6)$
• B(−5,2)−→−−Mx=4B′(2(4)+5,2)=B′(13,2)$B(-5,2)\stackrel{M_{x=4}}{\to }{B}^{\prime }(2\left(4\right)+5,2)=B^{\prime }(13,2)$

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa bayangan titik A(3,−6)$A(3,-6)$ dan B(−5,2)$B(-5,2)$ jika kedua titik tersebut direfleksikan terhadap garis x−4$x-4$ berturut-turut adalah A′(5,−6)$A^{\prime }(5,-6)$ dan B′(13,2)$B^{\prime }(13,2)$.

Saya yakin sekarang kalian sudah ingat kembali mengenai materi translasi dan refleksi.

Nah, sekarang mari kita pelajari transformasi gabungan dari translasi dan refleksi terhadap garis x=h$x=h$.

Gabungan Translasi dan Refleksi Terhadap Garis x = h

Dalam kasus gabungan, ada dua hal yang mungkin terjadi, yaitu: translasi dilanjutkan refleksi atau refleksi dilanjutkan translasi.

Mari kita cermati contoh untuk kasus pertama.

Contoh 4:

Tentukan bayangan titik A(5,2)$A(5,2)$ oleh translasi T=(2−3 )$T=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$ dilanjutkan refleksi terhadap garis x=3$x=3$.

Penyelesaian:

Langkah pertama adalah menentukan bayangan titik A(5,2)$A(5,2)$ oleh translasi T=(2−3 )$T=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$.

A(5,2)−→−−−−(2−3 )A′(5+2,2−3)=A′(7,−1)$A(5,2)\stackrel{\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)}{\to }{A}^{\prime }(5+2,2-3)=A^{\prime }(7,-1)$

Langkah kedua adalah menentukan bayangan titik A′$A^{\prime }$ yang diperoleh dari langkah pertama oleh refleksi terhadap garis x=3$x=3$.

A′(7,−1)−→−−Mx=3A″(2(3)−7,−1)=A″(−1,−1)$A^{\prime }(7,-1)\stackrel{M_{x=3}}{\to }{A}^{″}(2\left(3\right)-7,-1)=A^{″}(-1,-1)$

Berdasarkan hasil pada langkah kedua, dapat disimpulkan bahwa bayangan titik A(5,2)$A(5,2)$oleh translasi T=(2−3 )$T=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$ dilanjutkan refleksi terhadap garis x=3$x=3$ adalah A″(−1,−1)$A^{″}(-1,-1)$.

Mudah bukan?

Nah, pada contoh selanjutnya kita akan menentukan bayangan suatu garis oleh suatu translasi yang dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis x=h$x=h$

Contoh 5:

Tentukan bayangan garis 2x+y=3$2x+y=3$ oleh translasi T=(−45 )$T=\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\end{array}\right)$ dilanjutkan refleksi terhadap garis x=−2$x=-2$.

Penyelesaian:

Langkah pertama adalah menentukan bayangan titik (x,y)$(x,y)$ oleh translasi T=(−45 )$T=\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\end{array}\right)$dilanjutkan refleksi terhadap garis x=−2$x=-2$.

P(x,y)−→−−−(−45 )P′(x−4,y+5)$P(x,y)\stackrel{\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\end{array}\right)}{\to }{P}^{\prime }(x-4,y+5)$

P′(x−4,y+5)−→−−−Mx=−2=P″(−x,y+5)$P^{\prime }(x-4,y+5)\stackrel{M_{x=-2}}{\to }=P^{″}(-x,y+5)$

Langkah kedua adalah mencari hubungan antara variabel x$x$, x″$x^{″}$, y$y$, dan y″$y^{″}$.

Berdasarkan uraian pada langkah pertama, kita peroleh hubungan sebagai berikut:

• x″=−x⇔x=−x″$x^{″}=-x\iff x=-x^{″}$
• y″=y+5⇒y=y″−5$y^{″}=y+5\Rightarrow y=y^{″}-5$

Langkah ketiga adalah mensubtitusikan hasil yang diperoleh pada langkah kedua ke persamaan garis.

2x+y=3⇔2(−x″)+(y″−5)=3⇔−2x″+y″−5=3⇔−2x″+y″=8 $\begin{array}{rl}& 2x+y=3\\ & \iff 2(-x^{″})+(y^{″}-5)=3\\ & \iff -2x^{″}+y^{″}-5=3\\ & \iff -2x^{″}+y^{″}=8\end{array}$

Nah, berdasarkan hasil pada langkah ketiga, dapat disimpulkan bahwa bayangan garis 2x+y=3$2x+y=3$ oleh translasi T=(−45 )$T=\left(\begin{array}{c}-4\\ 5\end{array}\right)$ dilanjutkan refleksi terhadap garis x=−2$x=-2$adalah −2x+y=8$-2x+y=8$.

Yuk kerjakan sepuluh latihan yang ada dalam topik ini untuk menguji pemahaman kalian.