Luas Daerah antara Dua Kurva

Luas Daerah antara Dua Kurva - Tahukah kamu danau terbesar di dunia? Ya, danau terbesar di dunia adalah Laut Kaspia. Mengapa disebut laut? Itu karena danau ini mempunyai ciri-ciri seperti laut, airnya asin dan sangat luas. Pinggiran danau ini juga dikelilingi pasir seperti halnya pesisir pantai. Nah, pernahkah kamu berpikir bagaimana cara menentukan luas danau tersebut? Tentunya kamu akan menghitung luas danau tersebut melalui foto berskala. Coba kamu perhatikan gambar danau di bawah ini.

        Untuk menghitung luas danau tersebut, kita dapat membagi (mempartisi) permukaan danau menjadi bangun datar seperti persegi, persegipanjang, segitiga, dan lain-lain. Selain itu, kita juga dapat menghitung luas danau tersebut dengan konsep yang akan kita pelajari berikut ini. Kita dapat mengkombinasikan fungsi-fungsi yang dapat diperoleh pada pinggiran danau sebagai suatu pembatas daerah, kemudian menghitung luas daerah tersebut dengan konsep integral luas. Bagaimana caranya? Mari kita pelajari bersama-sama.

🏠 KONSEP

▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩

Pada topik kali ini, konsep luas daerah yang akan kita pelajari adalah luas daerah yang dibatasi oleh dua fungsi/ kurva. Posisi dua kurva ini menentukan rumus integral yang akan digunakan. Untuk lebih jelasnya, perhatikan uraian berikut ini ya.

☀ Luas daerah antara dua kurva tanpa melalui titik potong

Misalkan A adalah daerah yang dibatasi kurva y=f(x)$y=f(x)$, y=g(x)$y=g(x)$, x=a$x=a$, dan x=b$x=b$dengan f(x)≥g(x)$f(x)\ge g(x)$, untuk a≤x≤b$a\le x\le b$. Luas daerah A yang dilambangkan dengan L(A) dapat kita hitung dengan integral berikut.

☀ Luas daerah antara dua kurva yang berpotongan di kedua ujungnya

Penentuan luas daerah A pada gambar di atas juga dapat dilakukan dengan menggunakan rumus yang kita peroleh sebelumnya. Misalkan A adalah daerah yang dibatasi kurva dengan y=f(x)$y=f(x)$ dan y=g(x)$y=g(x)$ yang berpotongan di x=a$x=a$ dan x=b$x=b$dengan f(x)≥g(x)$f(x)\ge g(x)$, untuk a≤x≤b$a\le x\le b$. Luas daerah A yang dilambangkan dengan L(A) dapat kita hitung dengan integral berikut.

☀ Luas daerah antara dua kurva yang berpotongan di tengahnya

Misalkan A adalah daerah yang dibatasi kurva y=f(x)$y=f(x)$, y=g(x)$y=g(x)$, x=a$x=a$, dan x=b$x=b$dengan f(x)$f(x)$ dan g(x)$g(x)$ berpotongan di x=c$x=c$ dengan a≤c≤b$a\le c\le b$ sehingga f(x)≥g(x)$f(x)\ge g(x)$untuk a≤x≤c$a\le x\le c$, dan f(x)≤g(x)$f(x)\le g(x)$ untuk c≤x≤b$c\le x\le b$. Luas daerah A yang dilambangkan dengan L(A) dapat kita hitung dengan integral berikut.

☀ Luas daerah antara dua kurva yang berpotongan di beberapa titik yang bukan titik ujungnya

Misalkan A adalah daerah yang dibatasi kurva y=f(x)$y=f(x)$, y=g(x)$y=g(x)$, x=a$x=a$, dan x=b$x=b$dengan f(x)$f(x)$ dan g(x)$g(x)$ berpotongan di x=c$x=c$ dan x=d$x=d$ dengan a≤c≤d≤b$a\le c\le d\le b$sehingga f(x)≤g(x)$f(x)\le g(x)$ untuk a≤x≤c$a\le x\le c$, dan f(x)≥g(x)$f(x)\ge g(x)$ untuk c≤x≤d$c\le x\le d$, dan f(x)≤g(x)$f(x)\le g(x)$ untuk d≤x≤b$d\le x\le b$. Luas daerah A yang dilambangkan dengan L(A) dapat kita hitung dengan integral berikut.

▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩▩

Oleh karena terdapat empat kasus di atas, maka untuk menentukan rumus yang akan digunakan, kamu perlu memperhatikan hal-hal berikut.

☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲

𝟙. Jika gambarnya diketahui

Jika gambarnya diketahui, maka cukup perhatikan posisi fungsi dan selangnya untuk menentukan batas dan rumus yang akan digunakan.

♫ Contoh 1

Perhatikan gambar di bawah ini.

Jika diketahui f(x)$f(x)$ dan g(x)$g(x)$ berpotongan di titik (a,b)$(a,b)$, f(x)$f(x)$ dan h(x)$h(x)$ berpotongan di titik (c,d)$(c,d)$, dan g(x)$g(x)$ dan h(x)$h(x)$ berpotongan di titik (e,i)$(e,i)$ di bagian kiri dan (j,k)$(j,k)$ di bagian kanan, maka rumus untuk menghitung luas daerah yang diarsir adalah ….

Jawab:

Tambahkan keterangan pada absis dari masing-masing titik potong seperti gambar di bawah ini.

Perhatikan bahwa untuk e≤x≤a$e\le x\le a$, kurva g(x)$g(x)$ di atas h(x)$h(x)$ atau g(x)≥h(x)$g(x)\ge h(x)$. Untuk a≤x≤c$a\le x\le c$, kurva f(x)$f(x)$ di atas h(x)$h(x)$ atau g(x)≥h(x)$g(x)\ge h(x)$. Dengan demikian, luas daerah yang diarsir pada gambar adalah:

∫ae(g(x)−h(x))dx+∫ca(f(x)−h(x))dx${\int }_e^a\left(g(x)-h(x)\right)dx+{\int }_a^c\left(f(x)-h(x)\right)dx$

𝟚. Jika hanya fungsinya yang diketahui

Jika hanya fungsi kedua kurva saja yang diketahui, maka untuk menghitung luas daerah tersebut dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut.

Misalnya terdapat fungsi f(x)$f(x)$ dan g(x)$g(x)$.

➤ Tentukan titik potong kedua fungsi dengan menentukan solusi dari persamaan

f(x)=g(x)$f(x)=g(x)$

➤ Perhatikan apakah titik potong tersebut masuk dalam interval pengintegralan (selang a≤x≤b$a\le x\le b$)

• Jika tidak, tentukan nilai fungsi mana yang lebih besar antara f(x)$f(x)$ dengan g(x)$g(x)$. Nilai fungsi yang lebih besar berarti fungsi tersebut di atas fungsi lain sehingga integralnya bertanda positif.
• Jika ya, bagilah (partisilah) selang dengan titik potong tersebut. Misalkan titik potongnya adalah x=c$x=c$ dan x=d$x=d$, maka untuk setiap selang a≤x≤c$a\le x\le c$, c≤x≤d$c\le x\le d$, dan d≤x≤b$d\le x\le b$ tentukan nilai fungsi yang lebih besar antara f(x)$f(x)$dengan g(x)$g(x)$. Nilai fungsi yang lebih besar berarti fungsi tersebut di atas fungsi lain sehingga integralnya bertanda positif.

➤ Gunakan rumus integral luas yang sesuai dengan permasalahan pada soal untuk menghitung luas daerah tersebut.

☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲

Untuk lebih memahami cara menentukan luas daerah yang dibatasi dua kurva, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh 1

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x3$y=x^3$, y=x$y=x$, x=2$x=2$, dan x=4$x=4$ adalah ….

Jawab:

Oleh karena pada soal hanya diketahui fungsinya, maka ikuti langkah berikut ini.

➤ Tentukan titik potong kedua kurva

Substitusi y = x ke y = x3 , sehingga diperoleh:

⇔⇔⇔⇔x3x3−xx(x2−1)x(x−1)(x+1)x=====x000−1,x=0, dan x=1$\begin{array}{ll}& {\mathrm{<br>}}^{}\end{array}$

$\begin{array}{lll}{x}^3& =& x\\ \iff & x^3-x& =& 0\\ \iff & x(x^2-1)& =& 0\\ \iff & x(x-1)(x+1)& =& 0\\ \iff & x& =& -1,x=0,\text{ dan }x=1\end{array}$

➤ Perhatikan bahwa ketiga titik potong tersebut tidak berada dalam selang 2≤x≤4$2\le x\le 4$dan x3≥x$x^3\ge x$ untuk 2≤x≤4$2\le x\le 4$, sehingga luas daerah yang dibatasi kedua kurva tersebut adalah:

L=∫42(x3−x)dx=(x44−x22)∣∣∣42=(444−422)−(244−222)=(64−8)−(4−2)=54$\begin{array}{ll}L& ={\int }_2^4\left(x^3-x\right)dx\\ & ={\left(\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right)|}_2^4\\ & =\left(\frac{4^4}{4}-\frac{4^2}{2}\right)-\end{array}$

$\begin{array}{l}\left(\frac{2^4}{4}-\frac{2^2}{2}\right)\\ & =\left(64-8\right)-(4-2)\\ & =54\end{array}$

Jadi, luas daerah tersebut adalah 54 satuan luas.

Contoh 2

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x2−2x+3$y=x^2-2x+3$ dengan kurva y=7−x2$y=7-x^2$adalah ….

Jawab:

Oleh karena pada soal hanya diketahui fungsinya, maka ikuti langkah berikut ini.

➤ Tentukan titik potong kedua kurva

Substitusi y = 7 - x2 ke y = x2 - 2x + 3, sehingga diperoleh:

⇔⇔⇔⇔x2−2x+32x2−2x−4x2−x−2(x−2)(x+1)x=====7−x2000−1 atau x=2$\begin{array}{llll}& x^2-2x+3& =& 7-x^2\\ \iff & 2x^2-2x-4& =& 0\\ \iff & x^2-x-2& =& 0\\ \iff \end{array}$

$\begin{array}{lll}(x-2)(x+1)& =& 0\\ \iff & x& =& -1\text{ atau }x=2\end{array}$

➤ Oleh karena kurva berpotongan di x = -1 dan x = 2, maka batas integralnya adalah -1 ≤ x ≤ 2. Selanjutnya, periksalah manakah fungsi yang lebih besar di antara kedua fungsi tersebut. Caranya, cukup ambil satu titik uji dalam selang tersebut dan substitusikan pada masing-masing fungsi, misalkan x = 0.

x=0x=0⇒y=02−2⋅0+3=3⇒y=7−02=7$\begin{array}{ll}x=0& \Rightarrow y=0^2-2\cdot 0+3=3\\ x=0& \Rightarrow y=7-0^2=7\end{array}$

Ini berarti, 7−x2≥x2−2x+3$7-x^2\ge x^2-2x+3$ untuk −1≤x≤2$-1\le x\le 2$.

Dengan demikian, luas daerah yang dibatasi kedua kurva tersebut adalah:

L=∫2−1(7−x2)−(x2−2x+3)dx=∫2−1(4+2x−2x2)dx=(4x+x2−2x33)∣∣∣2−1=(4⋅2+22−2⋅233)−(4⋅(−1)+(−1)2−2⋅(−1)33)=15−183=273=9$\begin{array}{ll}L& ={\int }_{-1}^2\left(7-x^2\right)-\end{array}$

$\begin{array}{l}\left(x^2-2x+3\right)dx\\ & ={\int }_{-1}^2\left(4+2x-2x^2\right)dx\\ & ={\left(4x+x^2-\frac{2x^3}{3}\right)|}_{-1}^2\\ & =\left(4\cdot 2+2^2-\frac{2\cdot 2^3}{3}\right)-(4\cdot \left(-1\right)+{\left(-1\right)}^2-\frac{2\cdot }{}\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{{\left(-1\right)}^3}{3})\\ & =15-\frac{18}{3}\\ & =\frac{27}{3}\\ & =9\end{array}$

Jadi, luas daerah tersebut adalah 9 satuan luas.

Contoh 3

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x)=sinx$f(x)=\sin x$, g(x)=cosx$g(x)=\cos x$, x=0$x=0$, dan x=π2$x=\frac{\pi }{2}$adalah ….

Jawab:

Perhatikan gambar berikut.

Mula-mula, tentukan titik potong antara kedua kurva.

sinx=cosx⇔x=π4+2kπ atau x=54π+2kπ$\sin x=\cos x\iff x=\frac{\pi }{4}+2k\pi \text{ atau }$

$x=\frac{5}{4}\pi +2k\pi$

Untuk 0≤x≤π2$0\le x\le \frac{\pi }{2}$ , diperoleh x=π4$x=\frac{\pi }{4}$ .

Oleh karena titik potong berada dalam selang pengintegralan, maka bagilah selang tersebut menjadi 2 bagian. Kemudian, periksalah manakah fungsi yang lebih besar di antara kedua fungsi pada selang tersebut.

Untuk 0≤x≤π4⇒cosx≥sinx$0\le x\le \frac{\pi }{4}\Rightarrow \cos x\ge \sin x$ dan untuk π4≤x≤π2⇒sinx≥cosx$\frac{\pi }{4}\le x\le \frac{\pi }{2}\Rightarrow \sin x\ge \cos x$

Dengan demikian, luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x)=sinx$f(x)=\sin x$, g(x)=cosx$g(x)=\cos x$, x=0$x=0$ dan x=π2$x=\frac{\pi }{2}$ adalah:

L=∫π40(cosx−sinx)dx+∫π2π4(sinx−cosx)dx=(sinx−(−cosx))|π40+(−cosx−sinx)|π2π4=(sinπ4+cosπ4−(sin0+cos0))+(−cosπ2−sinπ2)−(−cosπ4−sinπ4)=2√2+2√2−(0+1)+(−0−1)−(−2√2−2√2)=2‾√−1−1−(−2‾√)=22‾√−2$\begin{array}{ll}L& ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\left(\cos x-\sin x\right)dx+{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\left(\sin x-\cos x\right)dx\\ & ={\left(\sin x-\left(-\cos x\right)\right)|}_0^{\frac{\pi }{4}}+{\left(-\cos x-\sin x\right)|}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\\ & =\left(\sin \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{4}-\left(\sin 0+\cos 0\right)\right)+\left(-\cos \frac{\pi }{2}-\sin \frac{\pi }{2}\right)-\left(-\cos \frac{\pi }{4}-\sin \frac{\pi }{4}\right)\\ & =\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-(0+1)+\left(-0-1\right)-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\ & =\sqrt{2}-1-1-\left(-\sqrt{2}\right)\\ & =2\sqrt{2}-2\end{array}$

Jadi, luas daerah tersebut yaitu 22‾√−2$2\sqrt{2}-2$ satuan luas.

Nah, kamu telah selesai belajar tentang luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva. Agar pemahamanmu bertambah lagi, yuk kerjakan latihan soal-soal berikut ini. Selamat