Pengubahan dan Pembuktian Berbagai Identitas Trigonometri - Pada topik-topik sebelumnya kalian telah banyak belajar mengenai rumus-rumus trigonometri dan identitas trigonometri.
Apakah kalian masih ingat dengan semua rumus trigonometri tersebut?
Yuk kita ingat kembali.
Rumus Jumlah dan Selisih Sudut
Ada enam rumus terkait jumlah dan selisih sudut untuk sinus, kosinus, dan tangen.
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ
tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ
Ada tiga rumus terkait sudut rangkap, yaitu:
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1=1−2sin2α
tan2α=2tanα1−tan2α
Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Trigonometri
Ada empat rumus terkait penjumlahan dan pengurangan trigonometri, yaitu:
sinA+sinB=2sin12(A+B)cos12(A−B)
sinA−sinB=2cos12(A+B)sin12(A−B)
cosA+cosB=2cos12(A+B)cos12(A−B)
cosA−cosB=−2sin12(A+B)sin12(A−B)
Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus
Ada empat rumus terkait perkalian sinus dan kosinus, yaitu:
- sinAcosB=12[sin(A+B)+sin(A−B)]
- cosAsinB=12[sin(A+B)−sin(A−B)]
- cosAcosB=12[cos(A+B)+cos(A−B)]
- sinAsinB=−12[cos(A+B)−cos(A−B)]
Sekarang kalian sudah ingat kembali semua rumus tersebut bukan?
Nah, dalam topik ini kalian akan belajar mengenai pengubahan dan pembuktian berbagai identitas trigonometri.
Yuk kita cermati beberapa contoh berikut.
Tentukan nilai dari cos10∘cos40∘cos50∘.
Penyelesaian:
Oleh karena bentuk di atas memuat perkalian kosinus, maka kita perlu menggunakan rumus perkalian kosinus.
cos10∘cos40∘cos50∘====cos10∘12(cos(40∘+50∘)+cos(40∘−50∘)cos10∘12(cos90∘+cos(−10∘))cos10∘12(0)+cos10∘1
Buktikan bahwa sin8θ+sin4θcos8θ+cos4θ=tan6θ.
Bukti:
Oleh karena ruas kiri persamaan memuat penjumlahan sinus dan kosinus, maka kita perlu menggunakan rumus terkait penjumlahan sinus dan kosinus.
sin8θ+sin4θcos8θ+cos4θ====2sin12(8θ+4θ)cos12(8θ−4θ)2cos12(8θ+4θ)cos12(8θ−4θ)sin6θcos2θcos6θcos2θsin6θcos6θtan6θ
Berdasarkan uraian di atas, terbukti bahwa sin8θ+sin4θcos8θ+cos4θ=tan6θ.
Nah, untuk mengetahui sejauh mana pemahaman kalian, yuk kerjakan sepuluh latihan soal dalam topik ini.