Pengubahan dan Pembuktian Berbagai Identitas Trigonometri

Pengubahan dan Pembuktian Berbagai Identitas Trigonometri - Pada topik-topik sebelumnya kalian telah banyak belajar mengenai rumus-rumus trigonometri dan identitas trigonometri.

Apakah kalian masih ingat dengan semua rumus trigonometri tersebut?

Yuk kita ingat kembali.

Rumus Jumlah dan Selisih Sudut

Ada enam rumus terkait jumlah dan selisih sudut untuk sinus, kosinus, dan tangen.

1. sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ$\sin \left(\alpha +\beta \right)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$
2. sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ$\sin \left(\alpha -\beta \right)=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$
3. cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ$\cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$
4. cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ$\cos \left(\alpha -\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$
5. tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ$\tan \left(\alpha +\beta \right)=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$
6. tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ$\tan \left(\alpha -\beta \right)=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$

Rumus Sudut Rangkap

Ada tiga rumus terkait sudut rangkap, yaitu:

1. sin2α=2sinαcosα$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$
2. cos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1=1−2sin2α$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =$
3. $2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha$
4. tan2α=2tanα1−tan2α$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$

Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Trigonometri

Ada empat rumus terkait penjumlahan dan pengurangan trigonometri, yaitu:

1. sinA+sinB=2sin12(A+B)cos12(A−B)$\sin A+\sin B=2\sin \frac{1}{2}\left(A+B\right)\cos \frac{1}{2}\left(A-B\right)$
2. sinA−sinB=2cos12(A+B)sin12(A−B)$\sin A-\sin B=2\cos \frac{1}{2}\left(A+B\right)\sin \frac{1}{2}\left(A-B\right)$
3. cosA+cosB=2cos12(A+B)cos12(A−B)$\cos A+\cos B=2\cos \frac{1}{2}\left(A+B\right)\cos \frac{1}{2}\left(A-B\right)$
4. cosA−cosB=−2sin12(A+B)sin12(A−B)$\cos A-\cos B=-2\sin \frac{1}{2}\left(A+B\right)\sin \frac{1}{2}\left(A-B\right)$

Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus

Ada empat rumus terkait perkalian sinus dan kosinus, yaitu:

1. sinAcosB=12[sin(A+B)+sin(A−B)]$\sin A\cos B=\frac{1}{2}\left[\sin \left(A+B\right)+\sin \left(A-B\right)\right]$
2. cosAsinB=12[sin(A+B)−sin(A−B)]$\cos A\sin B=\frac{1}{2}\left[\sin \left(A+B\right)-\sin \left(A-B\right)\right]$
3. cosAcosB=12[cos(A+B)+cos(A−B)]$\cos A\cos B=\frac{1}{2}\left[\cos \left(A+B\right)+\cos \left(A-B\right)\right]$
4. sinAsinB=−12[cos(A+B)−cos(A−B)]$\sin A\sin B=-\frac{1}{2}\left[\cos \left(A+B\right)-\cos \left(A-B\right)\right]$

Sekarang kalian sudah ingat kembali semua rumus tersebut bukan?

Nah, dalam topik ini kalian akan belajar mengenai pengubahan dan pembuktian berbagai identitas trigonometri.

Yuk kita cermati beberapa contoh berikut.

Contoh 1

Tentukan nilai dari cos10∘cos40∘cos50∘$\frac{\cos {10}^{\circ }}{\cos {40}^{\circ }\cos {50}^{\circ }}$.

Penyelesaian:

Oleh karena bentuk di atas memuat perkalian kosinus, maka kita perlu menggunakan rumus perkalian kosinus.

cos10∘cos40∘cos50∘====cos10∘12(cos(40∘+50∘)+cos(40∘−50∘)cos10∘12(cos90∘+cos(−10∘))cos10∘12(0)+cos10∘1$\begin{array}{l}\frac{\mathrm{<br>}}{}\end{array}$

$\begin{array}{lll}\frac{\cos {10}^{\circ }}{\cos {40}^{\circ }\cos {50}^{\circ }}& =& \frac{\cos {10}^{\circ }}{\frac{1}{2}(\cos ({40}^{\circ }+{50}^{\circ })+\cos ({40}^{\circ }-{50}^{\circ })}\\ & =& \frac{\cos {10}^{\circ }}{\frac{1}{2}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{(\cos {90}^{\circ }+\cos (-{10}^{\circ }))}{}\\ & =& \frac{\cos {10}^{\circ }}{\frac{1}{2}\left(0\right)+\cos {10}^{\circ }}\\ & =& 1\end{array}$

Contoh 2

Buktikan bahwa sin8θ+sin4θcos8θ+cos4θ=tan6θ$\frac{\sin 8\theta +\sin 4\theta }{\cos 8\theta +\cos 4\theta }=\tan 6\theta$.

Bukti:

Oleh karena ruas kiri persamaan memuat penjumlahan sinus dan kosinus, maka kita perlu menggunakan rumus terkait penjumlahan sinus dan kosinus.

sin8θ+sin4θcos8θ+cos4θ====2sin12(8θ+4θ)cos12(8θ−4θ)2cos12(8θ+4θ)cos12(8θ−4θ)sin6θcos2θcos6θcos2θsin6θcos6θtan6θ$\begin{array}{l}\frac{\mathrm{<br>}}{}\end{array}$

$\begin{array}{lll}\frac{\sin 8\theta +\sin 4\theta }{\cos 8\theta +\cos 4\theta }& =& \frac{2\sin \frac{1}{2}(8\theta +4\theta )\cos \frac{1}{2}(8\theta -4\theta )}{2\cos \frac{1}{2}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{(8\theta +4\theta )\cos \frac{1}{2}(8\theta -4\theta )}{}\\ & =& \frac{\sin 6\theta \cos 2\theta }{\cos 6\theta \cos 2\theta }\\ & =& \frac{\sin 6\theta }{\cos 6\theta }\\ & =& \tan 6\theta \end{array}$

Berdasarkan uraian di atas, terbukti bahwa sin8θ+sin4θcos8θ+cos4θ=tan6θ$\frac{\sin 8\theta +\sin 4\theta }{\cos 8\theta +\cos 4\theta }=\tan 6\theta$.

Nah, untuk mengetahui sejauh mana pemahaman kalian, yuk kerjakan sepuluh latihan soal dalam topik ini.