Bentuk A sin x ± B cos x dan A cos x ± B sin x

Bentuk A sin x ± B cos x dan A cos x ± B sin x - Pada topik sebelumnya kalian telah belajar mengenai rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus.

Apakah kalian masih ingat dengan keempat rumus tersebut?

Ya, keempat rumus tersebut adalah sebagai berikut:

1. sinA+sinB=2sin(A+B2)cos(A−B2)$\sin A+\sin B=2\sin \left(\frac{A+B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$
2. sinA−sinB=2cos(A+B2)sin(A−B2)$\sin A-\sin B=2\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\sin \left(\frac{A-B}{2}\right)$
3. cosA+cosB=2cos(A+B2)cos(A−B2)$\cos A+\cos B=2\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$
4. cosA−cosB=−2sin(A+B2)sin(A−B2)$\cos A-\cos B=-2\sin \left(\frac{A+B}{2}\right)\sin \left(\frac{A-B}{2}\right)$

Jika kalian perhatikan, keempat rumus tersebut merupakan hasil penjumlahan dan pengurangan dari perbandingan trigonometri sejenis, yaitu sinus dengan sinus dan kosinus dengan kosinus.

Mungkinkah kita mengubah bentuk penjumlahan dan pengurangan dari perbandingan trigonometri yang tidak sejenis ke dalam bentuk tunggal?

Jawabannya adalah ya. Bentuk (Asinx±Bcosx)$(A\sin x\pm B\cos x)$ dapat kita ubah ke dalam bentuk tunggal sinus maupun bentuk tunggal kosinus.

Sebagai ilustrasi, misalkan kita akan mengubah bentuk (sinx+cosx)$(\sin x+\cos x)$ ke dalam bentuk tunggal sinus dan kosinus.

Oleh karena sinx=cos(90°+x)$\sin x=cos(90°+x)$ dan cosA+cosB=2cos(A+B2)cos(A−B2)$\cos A+\cos B=2\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$, maka

sinx+cosx=====cos(90o+x)+cosx2sin((90o+x)+x2)sin((90o+x)−x2)2sin(45o+x)sin45o2(122‾√)sin(x+45o)2‾√sin(x+45o)$\begin{array}{l}\mathrm{<br>}\end{array}$

$\begin{array}{lll}\sin x+\cos x& =& \cos \left({90}^o+x\right)+\cos x\\ & =& 2\sin \left(\frac{\left({90}^o+x\right)+x}{2}\right)\sin \left(\frac{\left({90}^o+x\right)-x}{2}\right)\\ & =& 2\sin \left({45}^o+x\right)\sin {45}^o\\ & =& 2\end{array}$

$\begin{array}{l}\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)\sin \left(x+{45}^o\right)\\ & =& \sqrt{2}\sin \left(x+{45}^o\right)\end{array}$

Oleh karena cosx=sin(90°−x)$\cos x=sin(90°-x)$ dan sinA+sinB=2sin(A+B2)cos(A−B2)$\sin A+\sin B=2\sin \left(\frac{A+B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$, maka

sinx+cosx=====sinx+sin(90o−x)2sin(x+(90o−x)2)cos(x−(90o−x)2)2sin45ocos(x−45o)2(122‾√)cos(x−45o)2‾√cos(x−45o)$\begin{array}{l}\mathrm{<br>}\end{array}$

$\begin{array}{lll}\sin x+\cos x& =& \sin x+\sin \left({90}^o-x\right)\\ & =& 2\sin \left(\frac{x+\left({90}^o-x\right)}{2}\right)\cos \left(\frac{x-\left({90}^o-x\right)}{2}\right)\\ & =& 2\sin {45}^o\cos \end{array}$

$\begin{array}{l}\left(x-{45}^o\right)\\ & =& 2\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)\cos \left(x-{45}^o\right)\\ & =& \sqrt{2}\cos \left(x-{45}^o\right)\end{array}$

Berdasarkan uraian di atas, dapat kita simpulkan bahwa

sinx+cosx=2‾√sin(x+45°)=2‾√cos(x−45°)$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin (x+45°)=\sqrt{2}\cos (x-45°)$

Nah, berdasarkan kedua bentuk tersebut, kita dapat mengubah bentuk Asinx±Bcosx$A\sin x\pm B\cos x$ ke dalam bentuk psin(x±α)$p\sin \left(x\pm \alpha \right)$ maupun psin(x∓β)$p\sin \left(x\mp \beta \right)$.

Bentuk Tunggal Sinus

Jika dimisalkan Asinx±Bcosx=psin(x±α)$A\sin x\pm B\cos x=p\sin \left(x\pm \alpha \right)$, maka

Asinx±Bcosx===psin(x±α)p(sinxcosα±cosxsinα)(pcosα)sinx±(psinα)cosx$\begin{array}{l}\mathrm{<br>}\end{array}$

$\begin{array}{lll}A\sin x\pm B\cos x& =& p\sin \left(x\pm \alpha \right)\\ & =& p\left(\sin x\cos \alpha \pm \cos x\sin \alpha \right)\\ & =& \left(p\cos \alpha \right)\sin x\pm \left(p\sin \alpha \right)\cos x\end{array}$

Dengan demikian,

• pcosα=A⇔cosα=Ap$p\cos \alpha =A\iff \cos \alpha =\frac{A}{p}$
• psinα=B⇔sinα=Bp$p\sin \alpha =B\iff \sin \alpha =\frac{B}{p}$
• tanα=BA$\tan \alpha =\frac{B}{A}$

Contoh 1:

Ubahlah bentuk (cosx−3‾√sinx)$(\cos x-\sqrt{3}\sin x)$ ke dalam bentuk tunggal sinus.

Penyelesaian:

Oleh karena cosx−3‾√sinx=−3‾√sinx+cosx$\cos x-\sqrt{3}\sin x=-\sqrt{3}\sin x+\cos x$, maka

• A=−3‾√$A=-\sqrt{3}$
• B=1$B=1$
• p=A2+B2‾‾‾‾‾‾‾‾√=(−3‾√)2+12‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=4‾√=2$p=\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{{\left(-\sqrt{3}\right)}^2+1^2}=\sqrt{4}=2$
• sinα=Bp=12$\sin \alpha =\frac{B}{p}=\frac{1}{2}$
• cosα=Ap=−3√2$\cos \alpha =\frac{A}{p}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
• tanα=AB=−3√1=−3‾√$\tan \alpha =\frac{A}{B}=\frac{-\sqrt{3}}{1}=-\sqrt{3}$

Nah, karena kosinus dan tangen bernilai negatif, maka α=150°$\alpha =150°$.

Jadi, cosx−3‾√sinx=2sin(x+150°)$\cos x-\sqrt{3}\sin x=2\sin (x+150°)$.

Bentuk Tunggal Kosinus

Jika dimisalkan Asinx±Bcosx=pcos(x∓β)$A\sin x\pm B\cos x=p\cos \left(x\mp \beta \right)$, maka

Asinx±Bcosx===pcos(x∓α)p(cosxcosα∓sinxsinα)(psinα)sinx∓(pcosα)cosx$\begin{array}{l}\mathrm{<br>}\end{array}$

$\begin{array}{lll}A\sin x\pm B\cos x& =& p\cos \left(x\mp \alpha \right)\\ & =& p\left(\cos x\cos \alpha \mp \sin x\sin \alpha \right)\\ & =& \left(p\sin \alpha \right)\sin x\mp \left(p\cos \alpha \right)\cos x\end{array}$

Dengan demikian,

• psinβ=A⇔sinβ=Ap$p\sin \beta =A\iff \sin \beta =\frac{A}{p}$
• pcosβ=B⇔cosβ=Bp$p\cos \beta =B\iff \cos \beta =\frac{B}{p}$
• tanβ=AB$\tan \beta =\frac{A}{B}$

Contoh 2:

Ubahlah bentuk (cosx−3‾√sinx)$(\cos x-\sqrt{3}\sin x)$ ke dalam bentuk tunggal kosinus.

Penyelesaian:

Oleh karena cosx−3‾√sinx=−3‾√sinx+cosx$\cos x-\sqrt{3}\sin x=-\sqrt{3}\sin x+\cos x$, maka

• A=−3‾√$A=-\sqrt{3}$
• B=1$B=1$
• p=A2+B2‾‾‾‾‾‾‾‾√=(−3‾√)2+12‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=4‾√=2$p=\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{{\left(-\sqrt{3}\right)}^2+1^2}=\sqrt{4}=2$
• sinβ=Ap=−3√2$\sin \beta =\frac{A}{p}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
• cosβ=Bp=12$\cos \beta =\frac{B}{p}=\frac{1}{2}$
• tanβ=BA=1−3√=−133‾√$\tan \beta =\frac{B}{A}=\frac{1}{-\sqrt{3}}=-\frac{1}{3}\sqrt{3}$

Nah, karena sinus dan tangen bernilai negatif, maka β=300°$\beta =300°$.

Jadi, cosx−3‾√sinx=2cos(x−300°)$\cos x-\sqrt{3}\sin x=2\cos (x-300°)$.

Materi di atas mudah dipahami bukan?

Yuk sekarang kita cermati nilai maksimum dan minimum dari bentuk y=Asinx±Bcosx$y=A\sin x\pm B\cos x$ pada uraian di bawah ini.

Nilai Maksimum dan Minimum

Oleh karena bentuk Asinx±Bcosx$A\sin x\pm B\cos x$ dapat diubah menjadi bentuk psin(x±α)$p\sin \left(x\pm \alpha \right)$ dan qsin(x∓β)$q\sin \left(x\mp \beta \right)$, maka nilai maksimum dan minimum dari bentuk y=Asinx±Bcosx$y=A\sin x\pm B\cos x$ditentukan oleh nilai p$p$.

Mengapa demikian?

Ya, sebab −1≤sinx≤1$-1\le \sin x\le 1$ dan −1≤cosx≤1$-1\le \cos x\le 1$, sehingga nilai maksimum dan minimum dari bentuk y=Asinx±Bcosx$y=A\sin x\pm B\cos x$ berturut-turut adalah ymaks=p=A2+B2‾‾‾‾‾‾‾‾√$y_{\mathrm{maks}}=p=\sqrt{A^2+B^2}$ dan ymin=−p=−A2+B2‾‾‾‾‾‾‾‾√$y_{min}=-p=-\sqrt{A^2+B^2}$.

Contoh 3:

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari y=3sinx−4cosx$y=3\sin x-4\cos x$.

Penyelesaian:

Oleh karena p=A2+B2‾‾‾‾‾‾‾‾√=32+(−4)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=25‾‾‾√=5$p=\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{3^2+{\left(-4\right)}^2}=\sqrt{25}=5$, maka nilai maksimum dan minimum dari y=3sinx−4cosx$y=3\sin x-4\cos x$ berturut-turut adalah ymax=p=5$y_{max}=p=5$ dan ymin=−p=−5$y_{min}=-p=-5$.

Yuk uji pemahaman kalian dengan mengerjakan sepuluh latihan soal yang ada dalam topik ini.