Integral Parsial Fungsi Trigonometri

Integral Parsial Fungsi Trigonometri - Pada topik sebelumnya, kalian telah belajar mengenai integral parsial fungsi aljabar. Nah, dalam topik ini kalian akan belajar tentang integral parsial fungsi trigonometri.

Apakah kalian masih ingat dengan rumus integral parsial tentu dan tak tentu?

Ya, rumus integral parsial tak tentu adalah ∫udv=uv−∫vdu$\int udv=uv-\int vdu$, sedangkan rumus integral parsial tentu adalah ∫abudv=[uv]ba−∫abvdu$\underset{a}{\overset{b}{\int }}udv={\left[uv\right]}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}vdu$.

Kedua rumus di atas merupakan rumus dasar yang perlu kalian ketahui untuk mempelajari topik ini.

Apakah kalian masih ingat dengan hasil integral fungsi trigonometri sinus dan kosinus?

Seperti yang telah kalian ketahui, integral adalah antidiferensial.

Berdasarkan definisi tersebut, kita peroleh empat rumus berikut:

1. ∫sinxdx=−cosx+C$\int \sin xdx=-\cos x+C$
2. ∫sin(ax+b)dx=−1acos(ax+b)+C$\int \sin (ax+b)dx=-\frac{1}{a}\cos (ax+b)+C$
3. ∫cosxdx=sinx+C$\int \cos xdx=\sin x+C$
4. ∫cos(ax+b)dx=1asin(ax+b)+C$\int \cos (ax+b)dx=\frac{1}{a}\sin (ax+b)+C$

Nah, C$C$ pada keempat rumus di atas merupakan sebuah konstanta.

Apakah kalian masih ingat dengan identitas trigonometri?

Dalam menyelesaikan integral parsial fungsi trigonometri, sering kali kalian harus mengubah bentuk trigonometri yang ada ke dalam bentuk yang lain.

Berkaitan dengan hal tersebut, kalian perlu ingat kembali identitas trigonometri.

Berikut ini adalah beberapa identitas trigonometri yang sering digunakan dalam menyelesaikan integral parsial trgonometri:

1. sin2x+cos2x=1${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$
2. sin2x=12(1−cos2x)${\sin }^{2}x=\frac{1}{2}(1-\cos 2x)$
3. cos2x=12(1+cos2x)${\cos }^{2}x=\frac{1}{2}\left(1+\cos 2x\right)$
4. sinxcosx=12sin2x$\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$

Nah, karena integral parsial fungsi trigonometri terbentuk dari hasil perkalian antara fungsi aljabar dan fungsi trigonometri, maka yang dimisalkan sebagai u$u$ adalah fungsi aljabar.

Agar kalian semakin paham dengan materi di atas, yuk kita cermati beberapa contoh soal berikut.

Contoh 1

Tentukan hasil dari ∫xcosxdx$\int x\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x\mathrm{d}x$.

Penyelesaian:

Jika dimisalkan u=x$u=x$ dan dv=cosxdx$dv=\cos xdx$, maka

• du=dx$du=dx$
• v=∫cosxdx=sinx$v=\int \cos xdx=\sin x$

Oleh karena ∫udv=uv−∫vdu$\int udv=uv-\int vdu$, maka

∫xcosxdx==x(sinx)−∫sinxdxxsinx+cosx+C$\begin{array}{lll}\int x\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x\mathrm{d}x& =& x(\sin x)-\int \sin xdx\\ & =& x\sin x+\cos x+C\end{array}$

Contoh 2

Tentukan hasil dari ∫xsinxcosxdx$\int x\sin x\cos xdx$.

Penyelesaian:

Oleh karena sinxcosx=12sin2x$\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$, maka dapat kita misalkan u=x$u=x$ dan dv=12sin2xdx$dv=\frac{1}{2}\sin 2xdx$.

Akibatnya,

• du=dx$du=dx$
• v=∫12sin2xdx=−14cos2x$v=\int \frac{1}{2}\sin 2xdx=-\frac{1}{4}\cos 2x$

Oleh karena ∫udv=uv−∫vdu$\int udv=uv-\int vdu$, maka

∫xsinxcosxdx===x(−14cos2x)−∫(−14cos2x)dx−14xcos2x+14∫cos2xdx−14xcos2x+18sin2x+C$\begin{array}{l}<br>\end{array}$

$\begin{array}{lll}\int x\sin x\cos xdx& =& x\left(-\frac{1}{4}\cos 2x\right)-\int \left(-\frac{1}{4}\cos 2x\right)dx\\ & =& -\frac{1}{4}x\cos 2x+\frac{1}{4}\int \cos 2xdx\\ & =& -\frac{1}{4}x\cos 2x+\frac{1}{8}\sin 2x+C\end{array}$

Yuk kerjakan sepuluh latihan soal dalam topik ini untuk menguji pemahaman kalian.