Masalah Nyata Terkait Integral Parsial

Masalah Nyata Terkait Integral Parsial - Masih ingatkah kalian tentang integral parsial?

Ya, integral parsial didasarkan pada rumus turunan dari perkalian dua fungsi.

Jika u$u$ dan v$v$ adalah fungsi dalam x$x$ yang kontinu dan terdiferensial pada interval [a,b]$[a,b]$, maka ∫abudv=[uv]ba−∫abudv$\underset{a}{\overset{b}{\int }}udv={\left[uv\right]}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}udv$.

Rumus integral parsial ini mengubah bentuk integral asli ke dalam bentuk integral yang lain.

Pemilihan u$u$ dan dv$dv$ memegang peranan penting dalam menyelesaikan integral parsial. Jika pemilihan u$u$ dan dv$dv$ tidak tepat, maka proses integrasi akan sangat panjang dan mungkin akan menemui jalan buntu.

Integran dalam integral parsial merupakan perkalian antara dua bentuk. Nah, yang dimisalkan sebagai u$u$ adalah bentuk yang paling sederhana.

Sebagai ilustrasi, misalkan kita akan menentukan nilai dari ∫x(2x−5)7dx$\int x{\left(2x-5\right)}^{7}dx$.

Oleh karena bentuk yang paling sederhana dari integran x(2x−5)7$x(2x-5{)}^7$ adalah x$x$, maka u=x$u=x$ dan dv=(2x−5)7dx$dv=(2x-5{)}^{7}dx$.

Dengan demikian,

• du=dx$du=dx$
• v=∫(2x−5)7dx=116(2x−5)8$v=\int {\left(2x-5\right)}^{7}dx=\frac{1}{16}{\left(2x-5\right)}^8$

Selanjutnya, karena ∫udv=uv−∫vdu$\int udv=uv-\int vdu$, maka

∫x(2x−5)7dx===x(116(2x−5)8)−∫116(2x−5)8dx116x(2x−5)8−116∫(2x−5)8dx116x(2x−5)8−1288(2x−5)9+C$\begin{array}{l}<br>\end{array}$

$\begin{array}{lll}\int x{\left(2x-5\right)}^{7}dx& =& x\left(\frac{1}{16}{\left(2x-5\right)}^8\right)-\int \frac{1}{16}{\left(2x-5\right)}^{8}dx\\ & =& \frac{1}{16}x{\left(2x-5\right)}^8-\frac{1}{16}\int {\left(2x-5\right)}^{8}dx\\ & =& \frac{1}{16}x\end{array}$

$\begin{array}{l}{\left(2x-5\right)}^8-\frac{1}{288}{\left(2x-5\right)}^9+C\end{array}$

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa ∫x(2x−5)7dx=116x(2x−5)8−1288(2x−5)9+C$\int x{\left(2x-5\right)}^{7}dx=\frac{1}{16}x{\left(2x-5\right)}^{}$

$8^{}-\frac{1}{288}{\left(2x-5\right)}^9+C$.

Sekarang kalian sudah ingat kembali tentang bagimana menyelesaikan integral parsial bukan?

Selain dengan menggunakan rumus integral parsial, sebenarnya kalian juga dapat menyelesaikan integral parsial dengan menggunakan teknik Tanzalin.

Yuk kita cermati uraian berikut.

Teknik Tanzalin

Dalam teknik Tanzalin, ada bagian yang dideferensialkan dan ada bagian yang diintegralkan.

Nah, bagian yang dideferensialkan ini adalah bentuk yang paling sederhana (u$u$), sedangkan bagian yang diintegralkan adalah dv$dv$.

Sebagai ilustrasi, misalkan kita akan menentukan nilai dari ∫x(2x−5)7dx$\int x{\left(2x-5\right)}^{7}dx$.

Oleh karena bentuk yang paling sederhana dari integran x(2x−5)7$x(2x-5{)}^7$ adalah x$x$, maka yang akan dideferensialkan adalah x$x$ dan yang akan diintegralkan adalah (2x−5)7dx$(2x-5{)}^{7}dx$.

Pada teknik Tanzalin, pendiferensial haruslah sampai dengan nol.

Anak panah merah pada tabel di atas menyatakan perkalian, sedangkan tanda (+) dan (-) pada tabel di atas menyatakan tanda dari perkalian tersebut.

Nah, berdasarkan tabel di atas, dapat disimpulkan bahwa ∫x(2x−5)7dx=116x(2x−5)8−1288(2x−5)9+C$\int x{\left(2x-5\right)}^{7}dx=\frac{1}{16}x$

${\left(2x-5\right)}^8-\frac{1}{288}{\left(2x-5\right)}^9+C$.

Apakah kalian sudah jelas dengan penjelasan di atas?

Saya yakin kalian sudah jelas dengan penjelesan di atas, sebab teknik Tanzalin ini lebih mudah daripada rumus integral parsial, terlebih jika dalam penyelesaiannya kalian harus melakukan lebih dari satu kali integrasi.

Yuk uji pemahaman kalian mengenai penerapan integral parsial dengan mengerjakan sepuluh latihan soal yang ada dalam topik ini.