Integral Parsial Fungsi Aljabar

Integral Parsial Fungsi Aljabar - Pada topik sebelumnya, kalian telah menyelesaikan bentuk integral dengan menggunakan cara biasa dan subtitusi. Perlu kalian ketahui, tidak semua bentuk integral dapat diselesaikan dengan menggunakan cara biasa ataupun subtitusi. Nah, dalam topik ini kalian akan belajar mengenai metode penyelesaian bentuk integral yang lain, yaitu integral parsial.

Jika dimisalkan u$u$ dan v$v$ diferensiabel terhadap variabel x$x$, maka berdasarkan sifat perkalian dalam diferensial, d(uv)=udv+vdu$d(uv)=udv+vdu$.

Selanjutnya, jika kedua ruas dari persamaan tersebut kita integralkan, maka akan diperoleh hasil sebagai berikut:

∫d(uv)⇔uv⇔∫udv===∫udv+∫vdu∫udv+∫vduuv−∫vdu$\begin{array}{lll}\int d(uv)& =& \int udv+\int vdu\\ \iff uv& =& \int udv+\int vdu\\ \iff \int udv& =& uv-\int vdu\end{array}$

Nah, persamaan ∫udv=uv−∫vdu$\int udv=uv-\int vdu$ selanjutnya disebut sebagai rumus integral parsial.

Bagaimanakah rumus integral parsial tentu?

Jika batas bawah dan batas atas integral berturut-turut adalah a$a$ dan b$b$, maka ∫abudv=[uv]ba−∫abvdu$\underset{a}{\overset{b}{\int }}udv={\left[uv\right]}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}vdu$.

Apakah kalian sudah paham dengan penjelasan di atas?

Yuk kita cermati beberapa soal berikut agar kalian semakin paham.

Contoh 1

Tentukan nilai dari ∫x(x+3)4dx$\int x{(x+3)}^{4}dx$.

Penyelesaian:

Bentuk x(x+3)4dx$x{(x+3)}^{4}dx$ perlu kita ubah menjadi udv$udv$.

Nah, untuk menentukan u$u$, kita perlu memilih bagian yang paling sederhana dari bentuk x(x+3)4dx$x{(x+3)}^{4}dx$. Adapun yang dimisalkan sebagai dv$dv$ adalah bagian yang lebih kompleks.

Dalam hal ini,

• u=x$u=x$
• dv=(x+3)4dx$dv={(x+3)}^{4}dx$

Dengan demikian,

• du=dx$du=dx$
• v=∫(x+3)4dx=15(x+3)5$v=\int {(x+3)}^{4}dx=\frac{1}{5}{(x+3)}^5$

Selanjutnya, dengan menggunakan rumus integral parsial: ∫udv=uv−∫vdu$\int udv=uv-\int vdu$, kita peroleh hasil sebagai berikut:

∫x(x+3)4dx==x(15(x+3)5)−∫15(x+3)5dx15x(x+3)5−130(x+3)6+C$\begin{array}{lll}\int x{(x+3)}^{4}dx& =& x\left(\frac{1}{5}{(x+3)}^5\right)-\end{array}$

$\begin{array}{l}\int \frac{1}{5}{(x+3)}^{5}dx\\ & =& \frac{1}{5}x{(x+3)}^5-\frac{1}{30}{\left(x+3\right)}^6+C\end{array}$

Contoh 2

Tentukan nilai dari ∫2x(3x−2)6dx$\int 2x{(3x-2)}^{6}dx$.

Penyelesaian:

Bentuk 2x(3x−2)6dx$2x{(3x-2)}^{6}dx$ perlu kita ubah menjadi udv$udv$.

Nah, untuk menentukan u$u$, kita perlu memilih bagian yang paling sederhana dari bentuk 2x(3x−2)6dx$2x{(3x-2)}^{6}dx$. Adapun yang dimisalkan sebagai dv$dv$ adalah bagian yang lebih kompleks.

Dalam hal ini,

• u=2x$u=2x$
• dv=(3x−2)6dx$dv={(3x-2)}^{6}dx$

Dengan demikian,

• du=2dx$du=2dx$
• v=∫(3x−2)6dx=13×17(3x−2)7=121(3x−2)7$v=\int {(3x-2)}^{6}dx=$
• $\frac{1}{3}\times \frac{1}{7}{(3x-2)}^7=\frac{1}{21}(3x-2{)}^7$

Selanjutnya, dengan menggunakan rumus integral parsial: ∫udv=uv−∫vdu$\int udv=uv-\int vdu$, kita peroleh hasil sebagai berikut:

∫2x(3x−2)6dx===2x(121(3x−2)7)−∫121(3x−2)7(2)dx221x(3x−2)7−221×13×18(3x−2)8+C221x(3x−2)7−1252(3x−2)8+C$\begin{array}{l}<br>\end{array}$

$\begin{array}{lll}\int 2x{(3x-2)}^{6}dx& =& 2x\left(\frac{1}{21}{(3x-2)}^7\right)-\int \frac{1}{21}{(3x-2)}^7\left(2\right)dx\\ & =& \frac{2}{21}x{(3x-2)}^7-\frac{2}{21}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{8}{\left(3x-2\right)}^{}\end{array}$

$\begin{array}{l}{8}^{}+C\\ & =& \frac{2}{21}x{(3x-2)}^7-\frac{1}{252}{\left(3x-2\right)}^8+C\end{array}$

Contoh 3

Tentukan nilai dari ∫01x3−2x‾‾‾‾‾‾√dx$\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\sqrt{3-2x}dx$.

Penyelesaian:

Jika dimisalkan u=x$u=x$ dan dv=3−2x‾‾‾‾‾‾√dx$dv=\sqrt{3-2x}dx$, maka

• du=dx$du=dx$
• v=∫3−2x‾‾‾‾‾‾√dx=∫(3−2x)12dx=−13(3−2x)32$v=\int \sqrt{3-2x}dx=\int {\left(3-2x\right)}^{{}^{\frac{1}{2}}}dx=$
• $-\frac{1}{3}{\left(3-2x\right)}^{{}^{\frac{3}{2}}}$

Oleh karena ∫abudv=[uv]ba−∫abvdu${\underset{a}{\overset{b}{\int }}udv=\left[uv\right]}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}vdu$, maka

∫01x3−2x‾‾‾‾‾‾√dx=====[x(−13x(3−2x)32)]10−∫01(−13(3−2x)32)dx[−13x(3−2x)32]10−[115(3−2x)52]10−13(3−2)32−115(3−2)52−13−115−25$\begin{array}{l}\underset{}{\overset{}{<br>}}\end{array}$

$\begin{array}{lll}\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\sqrt{3-2x}dx& =& {\left[x\left(-\frac{1}{3}x{\left(3-2x\right)}^{{}^{\frac{3}{2}}}\right)\right]}_0^1-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(-\frac{1}{3}{\left(3-2x\right)}^{{}^{\frac{3}{2}}}\right)dx\\ & =& {\left[-\frac{1}{3}x{\left(3-2x\right)}^{{}^{\frac{3}{2}}}\right]}_0^1-{[\frac{1}{15}{\left(3-2x\right)}^{}}_{}^{}\end{array}$

$\begin{array}{l}{{{}^{\frac{5}{2}}}^{}]}_0^1\\ & =& -\frac{1}{3}{\left(3-2\right)}^{{}^{\frac{3}{2}}}-\frac{1}{15}{\left(3-2\right)}^{{}^{\frac{5}{2}}}\\ & =& -\frac{1}{3}-\frac{1}{15}\\ & =& -\frac{2}{5}\end{array}$

Yuk uji pemahaman kalian dengan mengerjakan sepuluh latihan soal dalam topik ini.