Menentukan Irisan Bidang dengan Menggunakan Sumbu Afinitas

Menentukan Irisan Bidang dengan Menggunakan Sumbu Afinitas - Tahukah kalian apa yang dimaksud dengan irisan antara sebuah bidang datar 

α$\alpha$dengan sebuah bangun ruang?

Ya, irisan antara sebuah bidang α$\alpha$ dengan sebuah bangun ruang adalah sebuah bidang datar dimana semua sisinya merupakan ruas garis persekutuan antara bidang α$\alpha$ dan bidang sisi bangun ruang tersebut.

Perlu kalian ketahui, apabila bangun ruang tersebut merupakan bidang banyak, maka irisannya berupa segi banyak atau poligon segi-n$n$ dengan n≥3$n\ge 3$, n∈A$n\in A$, dimana A$A$adalah himpunan bilangan asli.

Ada tiga cara yang dapat kalian gunakan untuk melukis irisan bidang, yaitu:

1. menggunakan sumbu afinitas
2. menggunakan sumbu perpotongan bidang diagonal
3. menggunakan perluasan bidang sisi

Nah, dalam topik kali ini, kalian akan belajar tentang irisan bidang datar dengan menggunakan sumbu afinitas.

Melukis Sumbu Afinitas

Sebenarnya apa yang dimaksud dengan sumbu afinitas?

Ya, sumbu afinitas merupakan garis perpotongan antara bidang pengiris dan bidang pengalas (bidang yang dianggap sebagai alas) bangun ruang.

Sebagai ilustrasi, kita akan mencoba melukis sumbu afinitas dari kubus ABCD.EFGH$ABCD.EFGH$jika diketahui bidang α$\alpha$ melalui titik P$P$, Q$Q$, dan R$R$.

☃ Bidang ABFE$ABFE$

Jika kalian perhatikan gambar di atas, tampak bahwa titik P$P$ dan Q$Q$ terletak pada bidangABFE$ABFE$. Dengan demikian, kita dapat membuat garis yang melalui kedua titik tersebut.

Selanjutnya, karena titik A$A$ dan B$B$ juga terletak pada bidang ABFE$ABFE$, maka kita dapat membuat garis yang melalui kedua titik tersebut sedemikian hingga diperoleh titik potong dengan garis yang melalui titik P$P$ dan Q$Q$.

Misalkan titik potong ini adalah titik M$M$ yang berada pada perluasan bidang alas ABCD$ABCD$.

☃ Bidang BCGF$BCGF$

Berdasarkan gambar di atas, titik Q$Q$ dan R$R$ terletak pada bidang BCGF$BCGF$. Dengan demikian, kita dapat membuat garis yang melalui kedua titik tersebut.

Selanjutnya, karena titik B$B$ dan C$C$ juga terletak pada bidang BCGF$BCGF$, maka kita dapat membuat garis yang melalui kedua titik tersebut sedemikian hingga diperoleh titik potong dengan garis yang melalui titik Q$Q$ dan R$R$.

Misalkan titik potong ini adalah titik N$N$ yang berada pada perluasan bidang alas ABCD$ABCD$.

Nah, karena kita sudah mendapatkan dua titik potong, maka sumbu afinitas dapat kita lukis dengan cara menghubungkan titik M$M$ dan N$N$.

Melukis Irisan Bidang

Oleh karena kalian sudah tahu tentang bagaimana cara melukis sumbu afinitas, maka sekarang kita akan mencoba menentukan irisan bidang α$\alpha$ dengan kubus ABCD.EFGH$ABCD.EFGH$.

Pada gambar di atas, tampak bahwa:

• Garis PQ$PQ$ merupakan irisan antara bidang α$\alpha$ dan kubus ABCD.EFGH$ABCD.EFGH$ pada bidang ABFE$ABFE$.
• Garis QR$QR$ merupakan irisan antara bidang α$\alpha$ dan kubus ABCD.EFGH$ABCD.EFGH$ pada bidang BCGF$BCGF$.

Dengan demikian, irisan antara bidang α$\alpha$ dan kubus ABCD.EFGH$ABCD.EFGH$ pada bidang CDHG$CDHG$ dan ADHE$ADHE$ belum diketahui.

Bagaimanakah cara menentukan irisan pada kedua bidang tersebut?

Yuk kita cermati uraian berikut.

☃ Bidang CDHG$CDHG$

Oleh karena titik C$C$ dan D$D$ terletak pada bidang CDHG$CDHG$, maka dapat kita buat garis yang melalui kedua titik ini, sedemikian hingga garis tersebut memotong sumbu afinitas.

Jika dimisalkan titik potong tersebut adalah titik K$K$, maka kita dapat menghubungkan titik K$K$ dan R$R$ sedemikian hingga garis yang terbentuk memotong bidang CDHG$CDHG$, misal di titik S$S$.

☃ Bidang ADHE$ADHE$

Oleh karena titik P$P$ dan S$S$ terletak pada bidang ADHE$ADHE$, maka kita dapat menghubungkan kedua titik tersebut.

Nah, karena semua titik potong antara bidang α$\alpha$ dan kubus ABCD.EFGH$ABCD.EFGH$ sudah diketahui semua, maka kita dapat melukis bidang irisannya.

Pada gambar di atas, tampak jelas bahwa irisan antara bidang α$\alpha$ dan kubus ABCD.EFGH$ABCD.EFGH$ adalah segi empat PQRS$PQRS$.

Apakah kalian sudah jelas dengan penjelasan di atas?

Yuk kita perhatikan contoh berikut agar kalian semakin paham.

Contoh

Perhatikan gambar limas T.ABCD$T.ABCD$ berikut.

Diketahui bidang α$\alpha$ melalui titik K$K$, L$L$, dan M$M$. Lukislah irisan bidang α$\alpha$ dan limas T.ABCD$T.ABCD$.

Penyelesaian:

Langkah pertama adalah melukis sumbu afinitas.

Titik K$K$ dan L$L$ terletak pada bidang TAB$TAB$. Dengan demikian, kita dapat membuat sebuah garis yang melalui kedua titik tersebut, dimana garis tersebut akan berpotongan dengan perpanjangan garis AB$AB$ di titik X$X$.

Titik L$L$ dan M$M$ terletak pada bidang TBC$TBC$. Dengan demikian, kita dapat membuat sebuah garis yang melalui kedua titik tersebut, dimana garis tersebut akan berpotongan dengan perpanjangan garis BC$BC$ di titik Y$Y$.

Nah, untuk melukis sumbu afinitas, kalian perlu menghubungkan titik X$X$ dan Y$Y$.

Langkah kedua adalah melukis bidang α$\alpha$.

Perpanjang garis AD$AD$ akan memotong sumbu afinitas di titik Z$Z$.

Selanjutnya, jika kita hubungkan titik Z$Z$ dengan titik K$K$, maka kita akan memperoleh titik potong antara bidang α$\alpha$ dan limas T.ABCD$T.ABCD$ pada bidang TAD$TAD$, yaitu titik N$N$.

Nah, karena keempat titik dari bidang α$\alpha$ sudah diketahui, maka bidang irisan α$\alpha$ dapat kita lukis dengan cara menghubungkan titik K$K$, L$L$, M$M$, dan N$N$.

Pada gambar di atas, tampak jelas bahwa irisan antara bidang α$\alpha$ dan limas T.ABCD$T.ABCD$adalah segi empat KLMN$KLMN$.

Yuk kerjakan sepuluh latihan soal dalam topik ini untuk menguji pemahaman kalian.