Komposisi Dua Refleksi Berurutan terhadap Sumbu yang Saling Tegak Lurus

Komposisi Dua Refleksi Berurutan terhadap Sumbu yang Saling Tegak Lurus - Pada topik sebelumnya, kalian telah belajar tentang refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar dengan sumbu 

X$X$ dan Y$Y$. Nah, dalam topik ini kalian akan belajar mengenai komposisi dua refleksi berurutan terhadap sumbu yang saling tegak lurus.

Refleksi Berurutan terhadap Sumbu X danY

Apakah sumbu X$X$ dan Y$Y$ saling tegak lurus?

Tentu saja jawabannya adalah iya.

Nah, komposisi refleksi dari kedua sumbu tersebut dapat berupa refleksi terhadap sumbu X$X$ terlebih dahulu atau refleksi terhadap sumbu Y$Y$ terlebih dahulu.

Yuk kita cari tahu perbedaannya dengan mencermati uraian berikut.

✿ Refleksi terhadap Sumbu Y$Y$ Dilanjutkan Refleksi terhadap Sumbu X$X$

Pada ilustrasi di atas, tampak bahwa bayangan titik P(x,y)$P(x,y)$ oleh refleksi terhadap sumbu Y$Y$ adalah titik P′(−x,y)$P^{\prime }(-x,y)$. Adapun bayangan titik P′(−x,y)$P^{\prime }(-x,y)$ oleh refleksi terhadap sumbu X$X$ adalah titik P″(−x,−y)$P^{″}(-x,-y)$.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa bayangan titik P(x,y)$P(x,y)$ oleh refleksi terhadap sumbu Y$Y$ dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu X$X$ adalah titik P″(−x,−y)$P^{″}(-x,-y)$.

✿ Refleksi terhadap Sumbu X$X$ Dilanjutkan Refleksi terhadap Sumbu Y$Y$

Pada ilustrasi di atas, tampak bahwa bayangan titik P(x,y)$P(x,y)$ oleh refleksi terhadap sumbu X$X$ adalah titik P′(x,−y)$P^{\prime }(x,-y)$. Adapun bayangan titik P′(x,−y)$P^{\prime }(x,-y)$ oleh refleksi terhadap sumbu Y$Y$ adalah titik P″(−x,−y)$P^{″}(-x,-y)$.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa bayangan titik P(x,y)$P(x,y)$ oleh refleksi terhadap sumbu X$X$ dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu Y$Y$ adalah titik P″(−x,−y)$P^{″}(-x,-y)$.

Dari kedua kesimpulan di atas, apa kesimpulkan akhir kalian?

Ya, benar sekali. Bayangan titik (x,y)$(x,y)$ oleh refleksi terhadap sumbu Y$Y$ dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu X$X$ sama dengan bayangan titik (x,y)$(x,y)$ oleh refleksi terhadap sumbu X$X$ dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu Y$Y$.

Dengan kata lain, bayangan titik (x,y)$(x,y)$ oleh refleksi berurutan terhadap sumbu X$X$ dan Y$Y$adalah titik (−x,−y)$(-x,-y)$.

Contoh 1

Tentukan bayangan dari titik M(−10,2)$M(-10,2)$ oleh refleksi berurutan terhadap sumbu Y$Y$dan sumbu X$X$.

Penyelesaian:

Oleh karena bayangan titik (x,y)$(x,y)$ oleh refleksi berurutan terhadap sumbu Y$Y$ dan sumbu X$X$ adalah (−x,−y)$(-x,-y)$, maka bayangan titik M(−10,2)$M(-10,2)$ oleh refleksi berurutan terhadap sumbu Y$Y$ dan sumbu X$X$ adalah titik M′(10,−2)$M^{\prime }(10,-2)$.

Refleksi Berurutan terhadap Garis x=a dany=b

Bukan hanya sumbu X$X$ dan Y$Y$ yang saling tegak lurus, garis x=a$x=a$ dan y=b$y=b$ juga saling tegak lurus.

Nah, komposisi refleksi dari kedua garis tersebut dapat berupa refleksi terhadap garis x=a$x=a$ terlebih dahulu atau refleksi terhadap garis y=b$y=b$ terlebih dahulu.

Yuk kita cari tahu perbedaannya dengan mencermati uraian berikut.

✿ Refleksi terhadap Garis x=a$x=a$ Dilanjutkan Refleksi terhadap Garis y=b$y=b$

Bayangan titik P(x,y)$P(x,y)$ oleh refleksi terhadap garis x=a$x=a$ adalah titik P′(x′,y′)=P′(2a−x,y)$P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })=P^{\prime }(2a-x,y)$. Adapun bayangan titik P′(2a−x,y)$P^{\prime }(2a-x,y)$ oleh refleksi terhadap garis y=b$y=b$ adalah titik P″(x″,y″)=P″(2a−x,2b−y)$P^{″}(x^{″},y^{″})=P^{″}(2a-x,2b-y)$.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa bayangan titik P(x,y)$P(x,y)$ oleh refleksi terhadap garis x=a$x=a$ dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y=b$y=b$ adalah titik P″(2a−x,2b−y)$P^{″}(2a-x,2b-y)$.

✿ Refleksi terhadap Garis y=b$y=b$ Dilanjutkan Refleksi terhadap Garis x=a$x=a$

Bayangan titik P(x,y)$P(x,y)$ oleh refleksi terhadap garis y=b$y=b$ adalah titik P′(x′,y′)=P′(x,2b−y)$P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })=P^{\prime }(x,2b-y)$. Adapun bayangan titik P′(x,2b−y)$P^{\prime }(x,2b-y)$ oleh refleksi terhadap garis x=a$x=a$ adalah titik P″(x″,y″)=P″(2a−x,2b−y)$P^{″}(x^{″},y^{″})=P^{″}(2a-x,2b-y)$.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa bayangan titik P(x,y)$P(x,y)$ oleh refleksi terhadap garis y=b$y=b$ dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis x=a$x=a$ adalah titik P″(2a−x,2b−y)$P^{″}(2a-x,2b-y)$.

Nah, berdasarkan uraian di atas, apa kesimpulan kalian?

Tepat sekali. Bayangan titik (x,y)$(x,y)$ oleh refleksi terhadap garis x=a$x=a$ dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y=b$y=b$ sama dengan bayangan titik (x,y)$(x,y)$ oleh refleksi terhadap garis y=b$y=b$ dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis x=a$x=a$.

Dengan kata lain, bayangan titik (x,y)$(x,y)$ oleh refleksi berurutan terhadap garis x=a$x=a$ dany=b$y=b$ adalah titik (2a−x,2b−y)$(2a-x,2b-y)$.

Contoh 2

Tentukan bayangan dari titik L(3,−7)$L(3,-7)$ oleh refleksi berurutan terhadap garis x=3$x=3$dan y=5$y=5$.

Penyelesaian:

Oleh karena bayangan dari titik (x,y)$(x,y)$ oleh refleksi berurutan terhadap garis x=a$x=a$ dan y=b$y=b$ adalah (2a−x,2b−y)$(2a-x,2b-y)$, maka bayangan dari titik L(3,−7)$L(3,-7)$ oleh refleksi berurutan terhadap garis x=3$x=3$ dan y=5$y=5$ adalah titik (2×3−3,2×5−(−7))=(6−3,10+7)=(3,17)$(2\times 3-3,2\times 5-(-7))=(6-3,10+7)=(3,17)$.

Perlu kalian ketahui, masih banyak pasangan garis yang saling tegak lurus. Nah, untuk menentukan bayangan titik (x,y)$(x,y)$ oleh refleksi berurutan terhadap kedua garis tersebut, tentukanlah koordinat titik potong dari kedua garis tersebut, kemudian refleksikan titik (x,y)$(x,y)$ terhadap titik potong tersebut.

Yuk kerjakan sepuluh latihan soal dalam topik ini untuk menguji pemahaman kalian.