Limit Fungsi Aljabar untuk x->a

Limit Fungsi Aljabar untuk x->a - Dasar untuk mempelajari kalkulus adalah konsep limit fungsi, yaitu limit fungsi aljabar dan limit fungsi trigonometri. Dalam topik ini kalian akan mempelajari materi Limit Fungsi Aljabar untuk x -> a.

Apakah kalian masih ingat bentuk bentuk fungsi polinomial (suku banyak), fungsi rasional (bentuk pecahan) dan fungsi irasional (bentuk akar)?

Bentuk bentuk fungsi itulah yang nanti akan kita limitkan dalam materi Limit Fungsi Aljabar ini.

Pengertian

Limit (nilai batas) adalah pendekatan terhadap suatu nilai atau harga tertentu. Jadi, harga batas (limit) bukanlah harga yang sebenarnya melainkan harga yang mendekati saja.

Bentuk umum penulisan

artinya menghitung nilai fungsi f(x) untuk nilai x mendekati nilai a.

Contoh 1

Diketahui f(x) = x + 3, dengan x ∈ R
Hitung nilai limit fungsi f(x) untuk x mendekati 2.

Penyelesaian :

Penulisan limit secara matematis untuk soal di atas adalah :

Nilai-nilai fungsi f(x) = x + 3 di sekitar x = 2 disajikan dalam tabel berikut :

Dari tabel di atas kita lihat bahwa nilai f(x) = x + 3 mendekati nilai 5 ketika nilai x mendekati 2, baik dari arah sisi kiri maupun dari arah sisi kanan.

Dengan demikian,

Contoh 2

Diketahui

dengan x ∈ R dan x ≠ 3

Hitung nilai limit fungsi f(x) untuk x mendekati 3.

Penyelesaian :

Nilai-nilai fungsi

di sekitar x = 3 disajikan dalam tabel berikut :

Dari tabel di atas kita lihat bahwa nilai

mendekati nilai 6 ketika nilai x mendekati 3.

Dengan demikian,

Contoh 3

Diketahui

Hitung nilai limit fungsi f(x) untuk x mendekati 1.

Penyelesaian :

Nilai-nilai fungsi f(x) di sekitar x = 1 disajikan dalam tabel berikut :

Dari tabel di atas kita lihat bahwa untuk nilai x -> 1, nilai fungsi f(x) tidak menuju ke satu nilai tertentu (ketika didekati dari arah sisi kiri, f(x) mendekati nilai 1 dan ketika didekati dari arah sisi kanan, f(x) mendekati nilai 4).

Dengan demikian,

Langkah-langkah menghitung nilai limit untuk x -> a

(1) Masukkan/substitusikan nilai x = a, jika ada nilainya maka nilai itu adalah nilai limitnya.

(2) Jika setelah dimasukan nilai x = a diperoleh nilai nol per nol atau nol pangkat nol , maka ditempuh :

• jika f(x) dapat difaktorkan, maka faktorkan
• jika f(x) dalam bentuk akar, maka rasionalkan dengan cara mengalikan dengan bentuk sekawannya

Contoh 4

Hitung nilai

Penyelesaian :

Dengan mensubstitusikan nilai x = 3 diperoleh :

Contoh 5

Hitung nilai

Penyelesaian :

Dengan mensubstitusikan x = 2 diperoleh :

Karena diperoleh nol per nol, maka langkah selanjutnya dengan cara memfaktorkan pembilangnya :

Contoh 6

Hitung nilai

Penyelesaian :

Dengan mensubstitusikan x = 9 diperoleh :

Karena diperoleh nol per nol, maka langkah selanjutnya dengan cara mengalikan dengan sekawan dari bentuk akarnya.

Dengan demikian,

Penarikan kesimpulan dari uji hipotesis

Penarikan kesimpulan dari uji hipotesis - Tahukah kalian bahwa hipotesis (hipotesis statistik) adalah pernyataan mengenai sifat populasi yang tidak diketahui kebenarannya karena data yang terkumpul atau akan dikumpulkan hanya berasal dari sampel. 

Uji hipotesis dilakukan dengan tujuan memperoleh gambaran mengenai suatu populasi dari sampel.

Hipotesis adalah dugaan sementara sehingga harus diuji kebenarannya. Dalam pengujian hipotesis, kita akan sering menggunakan istilah ”menerima” atau ”menolak” suatu hipotesis. Namun demikian perlu kalian sadari bahwa dalam pengujian hipotesis, kita tidak akan menyimpulkan bahwa hipotesis itu benar atau salah melainkan kita akan menyimpulkan bahwa hipotesis dapat diterima atau ditolak berdadasarkan apa yang diperoleh dari sampel.

Secara garis besar, hipotesis dibedakan atas hipotesis nol yang biasanya dilambangkan dengan H0 dan hipotesis tandingan atau hipotesis alternatif dilambangkan dengan Haatau H1.

Langkah-Langkah Pengujian Hipotesis

1. Menentukan hipotesis nol (H0) dan hipotesis alternatifnya (H1)

Misalkan yang diuji adalah parameter ϴ (dalam penggunaannya nanti ϴ dapat berupa rata-rata μ, proporsi π, simpangan baku σ, dan lain-lain).

Jika hipotesis mengandung pengertian sama maka pasangan H0 dan H1 adalah

Jika hipotesis mengandung pengertian maksimum maka pasangan H0 dan H1 adalah

Jika hipotesis mengandung pengertian minimum maka pasangan H0 dan H1 adalah

2. Menentukan taraf signifikansi (α)

Dalam memilih tingkat signifikansi kita harus memperhatikan hasil penelitian terdahulu terhadap penelitian sejenis. Masing-masing bidang ilmu mempunyai standar yang berbeda dalam menentukan tingkat signifikansi. Ilmu sosial biasanya menggunakan tingkat signifikansi antara 90% (α 10%) sampai 95% (α 5%), sedangkan ilmu-ilmu eksakta biasanya menggunakan tingkat signifikansi antara 98% (α 2%) sampai 99% (α 1%).

3. Memilih statistik uji yang sesuai

Setelah menentukan tingkat signifikansi langkah selanjutnya adalah menentukan uji statistik yang akan digunakan. Hal ini karena masing-masing uji statistik memerlukan asumsi yang berbeda dalam penerapannya. Perlu kalian ingat lagi mengenai penggunaan nilai z dan t.

Jika σ (simpangan baku populasi) diketahui, maka gunakan rumus berikut ini :

Jika σ tidak diketahui, maka gunakan rumus berikut ini :

Selanjutnya, pada pengujian kesamaan dua rata-rata pada data yang berpasangan (dependen), ada dua rumus yang dapat digunakan.

Jika σ1 = σ2 = σ dan σ diketahui, maka gunakan rumus :

Jika σ1 = σ2 = σ dan σ tidak diketahui, maka gunakan rumus :

4. Menentukan Kriteria Keputusan

Kriteria keputusan berkaitan erat dengan daerah kritis. Adapun penentuan daerah kritis berkaitan dengan H1.

• Jika H1 mempunyai rumusan tidak sama dengan maka distribusi statistik yang digunakan adalah normal untuk angka z dan didapat dua daerah kritis pada ujung–ujung distribusi. Adapun luas daerah kritis atau daerah penolakan pada tiap ujung adalah α/2. Pengujian hipotesis ini dinamakan uji dua pihak karena terdapat dua daerah penolakan.
• Jika H1 mempunyai rumusan lebih dari, maka daerah kritis berada di ujung sebelah kanan dan luasnya adalah α.
• Jika H1 mempunyai rumusan kurang dari, maka daerah kritis berada di ujung sebelah kiri dan luasnya adalah α.

5. Menarik Kesimpulan

Tahap terakhir adalah pengambilan keputusan untuk menolak atau tidak menolak H0. Sebagai contoh, mari kita perhatikan gambar di bawah ini.

Jika hasil perhitungan yang kalian dapatkan sebesar 1,98 maka H0 ditolak pada level kepercayaan 95%. H0 ditolak karena z hasil perhitungan berada pada daerah penolakan H0 , yaitu disebelah kanan nilai z = 1,65.

Mari kita perhatikan contoh berikut ini.

Suatu perusahaan shampo memproduksi shampo dalam bentul botol dengan rata-rata isi 100 ml. Sepuluh sampel shampo dipilih secara acak dengan isi 97 ml, 98 ml, 102 ml, 103 ml, 99 ml, 103 ml, 101 ml, 104 ml, 98 ml, 101 ml. Ujilah hipotesis bahwa isi botol tersebut rata-rata 100 ml dengan taraf signifikansi 0,01 dan diasumsikan bahwa isi tersebut menyebar normal.

Penyelesaian :

Hipotesis

Taraf signifikansi : α = 0,01

Statistik Uji

Kriteria Keputusan

Perhitungan

Kesimpulan

Karena t = 0,814 < 3,250 maka H0 diterima.

Jadi, dapat disimpulkan bahwa isi rata-rata botol shampo tersebut adalah 100 ml.

Menggunakan Fungsi Distribusi Binomial

Menggunakan Fungsi Distribusi Binomial - Perlu kalian ketahui bahwa di antara sekian banyak distribusi, barangkali distribusi normal merupakan distribusi yang secara luas banyak digunakan dalam berbagai penelitian. Banyak kejadian yang dapat dinyatakan dalam data hasil observasi per eksperimen yang mengikuti distribusi normal, antara lain tinggi badan, berat badan, isi sebuah botol, dan nilai hasil ujian.

Pada topik sebelumnya, kalian telah mempelajari bahwa distribusi binomial adalah suatu distribusi peluang yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya, dalam perlemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. 

Begitu pula, bila satu buah jeruk diambil dari sebuah keranjang maka kemungkinan yang terambil adalah jeruk yang manis atau asam. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama, yaitu sebesar ½.

Mari kita ingat kembali mengenai rumus distribusi peluang untuk variabel acak binomial.

Jika percobaan binomial mempunyai peluang keberhasilan p dan kegagalan q = 1 – p , maka distribusi peluang untuk variabel acak binomial X yaitu banyaknya keberhasilan dalam n percobaan yang bebas adalah

Agar mudah membedakan p dengan q, kalian harus dapat menetapkan mana kejadian yang sukses dan mana kejadian yang gagal. Hal yang paling mudah dilakukan adalah menetapkan kejadian yang menjadi pertanyaan atau ditanyakan sebagai kejadian sukses.

Contoh 1 :

Suatu suku cadang dapat menahan uji guncangan tertentu dengan peluang 0,75. Tentukan peluang bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak jika kejadian uji gancangan saling bebas!

Penyelesaian :

Jadi, peluang bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak adalah27/128.

Contoh 2 :

Kepala bagian produksi PT GARUDA CELL melaporkan bahwa rata-rata produksi ponsel yang rusak adalah sebesar 15%. Jika dari total produksi tersebut diambil secara acak sebanyak 4 buah ponsel, berapakah peluang bahwa 2 ponsel yang diambil ternyata rusak?

Penyelesaian :

Hasil perhitungan ini menunjukkan bahwa dengan 0,0975 atau 9,75% dari sampel acak sebanyak 4 buah ponsel dan rata-rata produk rusak setiap kali produksi adalah sebesar 15%, dapat dikatakan kecil. Namun pada kenyataannya, meskipun dilihat secara presentase kecil (9,75%) tetapi produk rusak harus tetap dikurangi atau bahkan dihilangkan untuk mengurangi kerugian.

Apa sekarang kalian sudah paham mengenai penggunaan distribusi binomial?

Merumuskan Fungsi Distribusi Binomial Melalui Percobaan Acak

Merumuskan Fungsi Distribusi Binomial Melalui Percobaan Acak - Di kelas X, tentunya kalian telah mempelajari cara mengumpulkan data. Pengumpulan data dilakukan dengan cara mengambil semua subjek penelitian yang disebut sebagai populasi.

Mari kita perhatikan ilustrasi berikut ini.

Adi ingin mengetahui sejauh mana motivasi belajar teman-temannya di SMA dalam mempelajari matematika. Berkaitan dengan tujuan tersebut, Adi melakukan wawancara dengan setiap siswa di sekolahnya. Setelah beberapa teman di wawancara, Adi sadar bahwa proses wawancara dengan semua siswa di sekolah tentunya akan memakan banyak waktu dan tenaga. Adi kemudian bertanya-tanya tentang ada tidaknya cara yang lebih efisien. Setelah berfikir cukup lama, Adi akhirnya memutuskan untuk mewawancari 2 siswa dari tiap kelas sehingga ada 30 siswa yang mewakili satu sekolah.

Dalam ilustrasi di atas, siswa yang mewakili diharapkan memberikan gambaran yang sesuai dengan sifat populasi. Cara pengambilan data seperti di atas disebut teknik sampling, yaitu pengambilan data yang dilakukan pada sampel kemudian kesimpulannya digeneralisasikan terhadap populasi.

Setelah mengetahui perbedaan populasi dan sampel, kita akan mempelajari distribusi binomial. Pernahkah kalian melakukan suatu percobaan?

Sebuah percobaan memiliki dua kemungkinan, yaitu “berhasil” atau “gagal”. Misalkan kita akan membeli sebuah jeruk. Saat memilih jeruk tersebut, kita dihadapkan pada dua kemungkinan, yaitu manis dan asam. Kita dianggap berhasil memilih jeruk yang bagus ketika kita mengambil jeruk yang manis. Namun jika kita mengambil jeruk yang asam, maka kita dianggap gagal dalam memilih jeruk yang bagus. Jika setiap jeruk yang diambil dikembalikan ke dalam keranjang sebelum pengambilan berikutnya, maka percobaan yang baru memiliki sifat yang sama, yaitu perulangannya bersifat bebas dan peluang terambilnya jeruk yang manis selalu sama, yaitu ½.

Percobaan seperti pada contoh di atas disebut percobaan binomial. Distribusi binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan apabila suatu proses dan cara pengambilan sampel dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli.

Menurut Walpole, suatu percobaan disebut sebagai percobaan binomial (proses Bernoulli) jika memiliki sifat-sifat berikut :

1. Percobaan terdiri dari n ulangan
2. Pada setiap pengulangan, hasilnya dapat dinyatakan sebagai berhasil atau gagal
3. Peluang berhasil dinyatakan sebagai p sedangkan peluang setiap kegagalan yang terjadi adalah q = 1 – p. Keberhasilan dan kegagalan memiliki peluang yang sama pada setiap pengulangan percobaan
4. Pengulangan bersifat bebas satu sama lain. Artinya percobaan pertama tidak mempengaruhi percobaan kedua dan sebaliknya.

Mari kita perhatikan percobaan binomial berikut!

Sebuah jeruk diambil dari sebuah keranjang yang berisi 30 jeruk manis (M) dan 70 jeruk asam (A). Percobaan dikatakan berhasil jika jeruk yang terambil adalah jeruk yang manis. Misal, banyaknya keberhasilan dilambangkan dengan variabel acak x dengan nilai sebagai berikut :

Peluang terambilnya jeruk manis dan jeruk asam berturut-turut adalah

Selanjutnya, jika dimisalkan percobaan dilakukan sebanyak empat kali dan jeruk yang telah diambil pada pengambilan sebelumnya dikembalikan lagi, maka percobaan ini menghasilkan 24 = 16 hasil percobaan sebagai berikut :

Oleh karena setiap hasil percobaan terdiri dari empat kejadian yang bebas satu sama lain, maka peluang terjadinya setiap percobaan merupakan hasil kali peluang setiap kejadian.

Contoh 1 :

Dalam kasus di atas, akan kita tentukan peluang terambil jeruk pertama manis, jeruk ke-2 asam, jeruk ke-3 asam, dan jeruk ke-4 manis.

Contoh 2 :

Jika kita tidak memperhatikan urutan pengambilan jeruk manis dan asam pada contoh 1, maka peluang terambil 1 jeruk manis dan 3 jeruk asam dari 4 kali percobaan adalah

Berdasarkan percobaan di atas, dapat ditunjukkan bahwa jika percobaan dilakukan sebanyak 4 kali, maka x = 0, 1, 2, 3, 4. Namun jika percobaan dilakukan sebanyak n kali, maka x = 0, 1, 2, …, n.

Jika nilai peluang x kita hitung, maka akan diperoleh distribusi peluang X yang disebut sebagai distribusi binomial.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa jika percobaan binomial mempunyai peluang keberhasilan p dan peluang kegagalan q = 1 – p , maka distribusi peluang untuk variabel acak binomial x sama dengan banyaknya keberhasilan dalam npercobaan yang bebas, yaitu :

Uji Hipotesis Satu Pihak

Uji Hipotesis Satu Pihak - Sebelumnya, kalian telah mempelajari ukuran pemusatan dan keragaman dalam statistika. Nah, dalam topik ini kalian akan mempelajari topik lain, yaitu mengenai uji hipotesis satu pihak. Untuk itu, mari kita dengan penuh semangat bersama-sama membahas lebih jauh mengenai topik ini.

1. HIPOTESIS STATISTIK

Pengujian hipotesis statistik merupakan salah satu bagian terpenting dalam statistika. Hal ini karena dalam kehidupan nyata kita seringkali diharuskan untuk membuat suatu keputusan atau kesimpulan mengenai suatu pemasalahan tertentu dalam populasi tertentu pula. Keputusan tersebut tentu tidak boleh diambil secara sembarangan. Sebelum mengambil suatu keputusan, terlebih dahulu kita harus membuat suatu dugaan mengenai masalah tersebut terhadap suatu populasi, kemudian menganalisa bukti-bukti yang ada. Dugaan mengenai satu atau lebih populasi dalam statistika disebut hipotesis statistik.

Keputusan untuk menolak atau menerima suatu hipotesis statistik tergantung pada konsistensi bukti-bukti yang kita peroleh. Suatu hipotesis statistik akan ditolak jika bukti-bukti yang diperoleh tidak mendukung hipotesis tersebut. Sebaliknya, jika bukti-bukti yang diperoleh secara konsisten mendukung hipotesis tersebut, maka hal ini akan membawa pada penerimaan hipotesis tersebut. Akan tetapi perlu dipahami bahwa penerimaan suatu hipotesis statistik tidak selalu berarti bahwa hipotesis tersebut benar. Karena menerima suatu hipotesis statistik sejatinya bermakna bahwa kita tidak memiliki cukup bukti untuk menolaknya.

Hipotesis yang dirumuskan dengan tujuan untuk ditolak diistilahkan dengan hipotesis nol dan dilambangkan dengan H₀ . Sedangkan hipotesis alternatifnya dilambangkan dengan H₁.

Contoh:

Akan diuji suatu pernyataan : “Suatu vitamin merk A lebih unggul dari vitamin yang telah beredar jika 75% orang yang mengonsumsinya mengalami peningkatan daya tahan tubuh”.
Tentukan rumusan hipotesisnya.

Penyelesaian:

Pernyataan tersebut dinyatakan sebagai H₁ , sedangkan lawan dari pernyataan tersebut dinyatakan sebagai H₀.

Sehingga, uji hipotesisnya dapat dituliskan sebagai berikut:

2. DAERAH PENOLAKAN

Daerah penolakan adalah daerah atau interval dimana H₀ ditolak.
Daerah penolakan disebut juga dengan daerah kritik.

3. TARAF NYATA

Taraf nyata atau adalah peluang terjadinya kesalahan yang berupa penerimaan H₀ yang salah.
Taraf nyata dapat pula dikatakan sebagai ukuran daerah kritik.
Apabila H₀ ditolak pada taraf nyata 0,05 maka uji tersebut dikatakan nyata.
Sedangkan jika H₀ ditolak pada taraf nyata 0,01 maka uji tersebut dikatakan sangat nyata.

4. STATISTIK UJI

Statistik uji atau disebut juga statistik penguji adalah variabel random yang digunakan untuk mengambil keputusan apakah H₀ ditolak atau tidak ditolak.
H₀ akan ditolak jika nilai statistik ujinya masuk ke dalam daerah kritiknya.

5. UJI HIPOTESIS SATU PIHAK

Uji hipotesis satu pihak merupakan uji hipotesis statistik yang hipotesis altenatifnya bersifat satu pihak saja. Uji hipotesis satu pihak dapat dirumuskan sebagai:

atau

Hipotesis alternatif θ > θ₀ memiliki daerah kritik seluruhnya di ekor kanan sebarannya. Sedangkan daerah kritik dari hipotesis alternatif θ < θ₀ terletak pada ekor kanan sebarannya. H₀ selalu dinyatakan dalam bentuk kesamaan untuk menyatakan suatu nilai tunggal.

Contoh:

Sebuah perusahaan minuman instan menyatakan bahwa kadar gula rata-rata minuman hasil produksinya tidak lebih dari 12 gram per kemasan.
Tentukan hipotesis nol dan alternatif yang akan digunakan untuk menguji pernyataan perusahaan tersebut.
Tentukan pula daerah kritiknya.

Penyelesaian:

Pernyataan perusahaan minuman instan tersebut harus ditolak hanya jika μ > 12 gram dan harus diterima jika μ ≤ 12. Ingat bahwa H₀ harus menyatakan nilai tunggal, sehingga kita akan menguji:

Meski H₀ dituliskan dengan tanda sama dengan, namun nilainya tidak hanya semata-mata tepat 12 gram. Akan tetapi nilai H₀ mencakup semua nilai yang tidak dicakup oleh H₁, yaitu tepat 12 gram atau kurang dari 12 gram.

Sehingga apabila menerima H₀, tidak boleh diartikan bahwa μ tepat bernilai 12 gram.

Menerima H₀ harus kita artikan bahwa kita tidak punya cukup bukti untuk menerima H₁.

Untuk menentukan daerah kritiknya, coba perhatikan hipotesis alternatifnya. Karena uji ini merupakan uji hipotesis satu pihak, maka lambang “lebih dari” menunjukkan bahwa daerah kritiknya berada di ekor kanan sebaran statistik X.

6. LANGKAH-LANGKAH UJI HIPOTESIS SATU PIHAK

Berikut ini adalah langkah-langkah yang dapat dilakukan untuk melakukan uji hipotesis satu pihak mengenai parameter populasi θ:

a. Nyatakan hipotesis nol nya, yaitu H₀ : θ = θ₀

b. Pilih hipotesis alternatif yang sesuai, yaitu H₁ : θ > θ₀ atau H₁ : θ <θ₀

c. Tentukan taraf nyata α

d. Pilih statistik uji yang sesuai, kemudian tentukan daerah kritiknya.

e. Hitung nilai statistik uji berdasarkan data sampelnya.

f. Keputusan: Jika nilai statistik ujinya jatuh pada daerah kritik, maka H₀ ditolak, sebaliknya jika nilai statistik ujinya di luar daerah kritik maka H₀ tidak ditolak.

7. UJI – t SATU SAMPEL

Uji t satu sampel digunakan untuk menentukan apakah nilai rata-rata sampel berbeda dengan nilai rata-rata acuan.

Bentuk hipotesis satu pihak untuk uji t satu sampel adalah sebagai berikut:

a. Bentuk uji hipotesis satu pihak untuk pihak kanan

b. Bentuk uji hipotesis satu pihak untuk pihak kiri

8. LANGKAH-LANGKAH UJI t SATU SAMPEL UNTUK UJI HIPOTESIS SATU PIHAK

a. Nyatakan hipotesis nol nya, yaitu:

b. Pilih hipotesis alternatif yang sesuai, yaitu:

c. Tentukan taraf nyata

d. Tentukan nilai tabelnya, yaitu:

Keterangan:
n = banyaknya sampel 
(n − 1) = derajat bebas

e. Hitung nilai statistik uji berdasarkan data sampelnya, yaitu

Keterangan:

f. Daerah kritik:

1. Jika hipotesis alternatifnya

maka H₀ ditolak jika

2. Jika hipotesis alternatifnya

maka H₀ ditolak jika

g. Keputusan: Jika nilai statistik ujinya jatuh pada daerah kritik, maka H₀ ditolak, sebaliknya jika nilai statistik ujinya di luar daerah kritik maka H₀ tidak ditolak.

9. CARA MEMBACA TABEL UJI t

Cara menemukan nilai tabel pada tabel uji t adalah dengan memilih derajat bebas (n−1) dan

yang bersesuaian pada tabel uji t berikut ini.

Contoh:

Misal banyaknya sampel adalah 12 dan taraf signifikansinya adalah 0,05, maka nilai tabelnya yaitu

Contoh:

Waktu rata-rata yang diperlukan oleh siswa dalam mengerjakan satu set soal adalah 45 menit dengan simpangan baku 10 menit. Suatu set soal baru sedang dibuat. Untuk itu, dipilih secara acak 15 orang siswa untuk mengerjakan set soal baru tersebut. Ternyata, siswa-siswa tersebut memerlukan waktu rata-rata 40 menit dengan simpangan baku 12 menit untuk mengerjakan set soal baru tersebut. Dengan mengasumsikan bahwa populasi waktu yang diperlukan adalah normal dan menggunakan taraf signifikansi 0,05, ujilah bahwa nilai tengah populasinya sekarang kurang dari 45.

Jawab:

a. Hipotesis nol nya, yaitu: H₀ : μ = 45 menit

b. Hipotesis alternatif yang sesuai, yaitu: H₁ : μ < 45 menit

c. Taraf nyata

d. Nilai tabelnya, yaitu:

e. Nilai statistik uji berdasarkan data sampelnya, yaitu

f. Daerah kritik:

Diperoleh bahwa

yaitu –1,6137 > –1,761

g. Keputusan:

Karena nilai statistik ujinya tidak jatuh pada daerah kritik, maka H₀ tidak ditolak. 
Berarti, fakta tidak cukup kuat untuk mendukung penyataan bahwa nilai tengah populasinya sekarang kurang dari 45 menit.