Transformasi Regangan Searah Sumbu X

Transformasi Regangan Searah Sumbu X - Pada topik sebelumnya kalian telah belajar menyelesaikan beberapa jenis transformasi dengan menggunakan matriks. Nah, dalam topik ini kalian akan belajar tentang transformasi regangan searah sumbu 

X$X$.

Tahukah kalian apa perbedaan antara gusuran dan regangan?

Yuk kita cari tahu perbedaannya dalam topik ini.

Konsep Dasar

Untuk memudahkan kalian memahami tentang transformasi regangan searah sumbu X$X$, mari kita cermati ilustrasi berikut.

Diketahui keempat titik sudut persegi OABC$OABC$ adalah O(0,0)$O(0,0)$, A(2,0)$A(2,0)$, B(2,2)$B(2,2)$, dan C(0,2)$C(0,2)$.

Nah, kita akan menentukan bayangan persegi OABC$OABC$ tersebut terhadap transformasi (3001 )$\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Seperti yang telah kalian pelajari pada topik sebelumnya, koordinat bayangan dari keempat titik sudut persegi OABC$OABC$ dapat ditentukan dengan cara berikut:

(x′Ay′Ax′By′Bx′Cy′Cx′Dy′D )===(3001 )(xAyAxByBxCyCxDyD )(3001 )(00202202 )(00606202 ) $\begin{array}{lll}\left(\begin{array}{cccc}{x}_A^{\prime }& x_B^{\prime }& x_C^{\prime }& x_D^{\prime }\\ y_A^{\prime }& y_B^{\prime }& y_C^{\prime }& y_D^{\prime }\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}{x}_A& x_B& x_C& x_D\\ y_A& y_B& y_C& y_D\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}0& 2& 2& 0\\ 0& 0& 2& 2\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cccc}0& 6& 6& 0\\ 0& 0& 2& 2\end{array}\right)\end{array}$

Berdasarkan hasil di atas, dapat kita simpulkan bahwa bayangan persegi OABC$OABC$ adalah persegi O′A′B′C′$O^{\prime }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ dengan O′(0,0)$O^{\prime }(0,0)$, A′(6,0)$A^{\prime }(6,0)$, B′(6,2)$B^{\prime }(6,2)$, dan C′(0,2)$C^{\prime }(0,2)$.

Apa yang dapat kalian simpulkan dari ilustrasi di atas?

Ya, transformasi (3001 )$\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ menyebabkan titik-titik pada persegi OABC$OABC$ yang terletak pada sumbu Y$Y$ dipetakan pada dirinya sendiri, sedangkan titik-titik yang tidak terletak pada sumbu Y$Y$ dipetakan dalam arah sejajar sumbu X$X$ sedemikian hingga absisnya menjadi tiga kali absis semula, dengan ordinat tetap.

Nah, transformasi di atas disebut dengan transformasi regangan (stretch) searah sumbu X$X$ dengan faktor skala k=3$k=3$.

Secara umum, transformasi regangan searah sumbu X$X$ dengan faktor skala k$k$ akan memetakan titik A(x,y)$A(x,y)$ ke A′(x′,y′)=A′(kx,y)$A^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })=A^{\prime }(kx,y)$.

Nah, persamaan matriksnya adalah (x′y′ )=(k001 )(xy )$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$.

Nah, penjelasan di atas mudah dipahami bukan?

Yuk kita cermati beberapa contoh soal berikut ini agar kalian semakin paham.

Contoh 1

Tentukan bayangan titik P(3,–5)$P(3,–5)$ dan Q(–5,4)$Q(–5,4)$ oleh transformasi regangan searah sumbu X$X$ dengan faktor skala k=3$k=3$.

Penyelesaian:

Oleh karena matriks transformasi dari regangan searah sumbu X$X$ dengan faktor skala k$k$adalah (k001 )$\left(\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, maka bayangan titik P(3,–5)$P(3,–5)$ dan Q(–5,4)$Q(–5,4)$ dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut:

(x′Py′Px′Qy′Q )===(k001 )(xPyPxQyQ )(3001 )(3−5−54 )(9−5−154 ) $\begin{array}{lll}\left(\begin{array}{cc}{x}_P^{\prime }& x_Q^{\prime }\\ y_P^{\prime }& y_Q^{\prime }\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{x}_P& x_Q\\ y_P& y_Q\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ -5& 4\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}9& -15\\ -5& 4\end{array}\right)\end{array}$

Jadi, bayangan titik P(3,–5)$P(3,–5)$ dan Q(–5,4)$Q(–5,4)$ oleh transformasi regangan searah sumbu X$X$ dengan faktor skala k=3$k=3$ adalah P′(9,–5)$P^{\prime }(9,–5)$ dan Q(–15,4)$Q(–15,4)$.

Dari hasil di atas, tampak bahwa ordinat titik bayangan sama dengan ordinat titik semula, sedangkan absis titik bayangan adalah tiga kali absis titik semula.

Tahukah kalian mengapa absis titik bayangan adalah tiga kali absis titik semula?

Ya, sebab faktor skala yang digunakan dalam transformasi regangan searah sumbu X$X$adalah k=3$k=3$.

Nah, pada contoh berikut ini, kalian akan belajar tentang bagaimana cara menentukan bayangan sebuah garis oleh transformasi regangan searah sumbu X$X$ dengan faktor skala tertentu.

Contoh 2

Tentukan bayangan garis y=3x+5$y=3x+5$ oleh transformasi regangan searah sumbu X$X$dengan faktor skala k=12$k=\frac{1}{2}$.

Penyelesaian:

Misalkan bayangan titik (x,y)$(x,y)$ oleh regangan yang dimaksud adalah (x′,y′)$(x^{\prime },y^{\prime })$.

Nah, ada dua langkah yang perlu kalian ikuti untuk menyelesaiakan soal di atas.

Langkah I: menentukan hubungan antara x$x$ dan x′$x^{\prime }$ serta hubungan antara y$y$ dan y′$y^{\prime }$.

Oleh karena matriks transformasi dari regangan searah sumbu X$X$ dengan faktor skala k$k$adalah (k001 )$\left(\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, maka bayangan titik (x,y)$(x,y)$ dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut:

(x′y′ )=(12001 )(xy )$\begin{array}{lll}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\end{array}$

Oleh karena AX=B⇔X=A−1B$AX=B\iff X=A^{-1}B$, maka

(xy )===112−0(10012 )(x′y′ )2(x′12y′ )(2x′y′ ) $\begin{array}{lll}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)& =& \frac{1}{\frac{1}{2}-0}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)\\ & =& 2\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ \frac{1}{2}{y}^{\prime }\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}2x^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)\end{array}$

Langkah II: mensubtitusikan variabel x$x$ dan y$y$ yang diperoleh pada langkah I ke persamaan garis yang diberikan.

Jika kita subtitusikan hasil di atas ke dalam persamaan garis y=3x+5$y=3x+5$, maka akan kita peroleh persamaan bayangan sebagai berikut:

y⇔y′⇔y′===3x+53(2x′)+56x′+5 $\begin{array}{lll}y& =& 3x+5\\ \iff y^{\prime }& =& 3\left(2x^{\prime }\right)+5\\ \iff y^{\prime }& =& 6x^{\prime }+5\end{array}$

Jadi, bayangan garis y=3x+5$y=3x+5$ oleh transformasi regangan searah sumbu X$X$ dengan faktor skala k=12$k=\frac{1}{2}$ adalah y=6x+5$y=6x+5$.

Setelah mencermati dua contoh soal di atas, sekarang kalian semakin paham bukan?

Yuk, kerjakan sepuluh latihan soal yang ada dalam topik ini.