Menyelesaikan sistem persamaan linear dan persamaan kuadratik secara aljabar

Menyelesaikan sistem persamaan linear dan persamaan kuadratik secara aljabar

SOAL 1

Ada berapa jenis solusi yang bisa dimiliki sistem kuadrat linear?

SOAL 2

Pada titik keberapakah persamaan linear dan persamaan kuadrat berikut ini akan bersinggungan?

SOAL 3

Pada titik keberapakah persamaan linear dan persamaan kuadrat berikut ini akan bersinggungan?

SOAL 4

Apa jawaban dari sistem persamaan linear berikut ini?

SOAL 5

Jawablah sistem persamaan linear kuadrat berikut:

y−x2=3y−2x=2

SOAL 6

Diberikan sistem persamaan linear kuadrat: y−x2=3y−x2=3 dan y−2x=2y−2x=2. Penyelesaian dari sistem persamaan linear kuadrat di atas adalah ....

SOAL 7

Manakah dari yang berikut ini yang bukan merupakan angka jawaban sistem linear kuadrat?

SOAL 8

Jawab sistem persamaan linear berikut ini:

SOAL 9

Tentukan manakah dari berikut ini yang merupakan jawaban dari sistem persamaan linear berikut ini?

SOAL 10

Tentukan nilai a pada sistem persamaan linear kuadrat berikut agar memiliki satu solusi riil.

Menyelesaikan sistem persamaan linear dan kuadrat dengan grafik

Menyelesaikan sistem persamaan linear dan kuadrat dengan grafik - Menyelesaikan sistem persamaan yang terdiri atas persamaan linear dan persamaan kuadrat dengan menggunakan grafik 

Persamaan kuadrat didefinisikan sebagai suatu persamaan dengan sebuah suku atau beberapa suku berderajat derajat 2 dan tidak ada suku yang mempunyai derajat lebih dari 2.  Dengan demikian, bentuknya adalah parabola.

Adapun bentuk umumnya adalah : ax2 + bx + c = 0, dimana a, b, dan c adalah suatu konstanta.

Penyelesaian dari suatu sistem persamaan kuadrat-linear  merupakan titik potong antara grafik kuadrat dan grafik linear.

Dengan demikian, ada 3 kejadian yang mungkin, yaitu :

1. Dua grafik berpotongan pada 2 buah titik.

    Dalam kasus ini, sistem persamaan mempunyai 2 penyelesaian real. Contoh : :

2. Grafik linear menyinggung grafik kuadrat.

    Dalam kasus ini, sistem persamaan mempunyai tepat satu penyelesaian real. Berikut ini  

    adalah contohnya :

3. Dua grafik tidak berpotongan sama sekali.

    Dalam kasus ini, tidak ada penyelesaian real yang diperoleh. Hal ini terjadi karena kedua grafik   

    tidak berpotongan. Berikut ini adalah contohnya :

Dalam pelajaran ini, kalian akan belajar tentang bagaimana cara menyelesaikan suatu sistem persamaan yang terdiri atas persamaan linear dan persamaan kuadrat dengan menggunakan grafik. Berikut ini adalah beberapa contoh yang akan membantu kalian memahami materi ini :

CONTOH

Dari 3 gambar berikut ini, manakah yang merupakan sistem persamaan dengan jumlah penyelesaian real paling sedikit?

PENYELESAIAN :

Pada gambar C tidak ditemukan titik potong antara kurva dan garis. Dengan demikian, sistem pada gambar C mempunyai jumlah penyelesaian real yang paling sedikit, yaitu nol.

Membandingkan Fungsi-Fungsi Eksponensial

Membandingkan Fungsi-Fungsi Eksponensial

SOAL

Dari dua fungsi berikut ini, manakah yang mempunyai tingkat pertumbuhan yang lebih cepat?
f(x) = a 2x    atau  jumlah bakteria dalam segelas susu, yang mana berlipat 3 pada setiap jamnya.

SOAL 

Berapakah nilai b jika grafik di bawah ini mempunyai tingkat penurunan yang lebih besar daripada temperatur sebuah kubik es yang mana temperaturnya akan berkurang sampai 90% pada setiap detiknya?

SOAL 

Apakah yang merupakan syarat perlu bagi f(x) agar menjadi fungsi penurunan eksponensial jika diketahui f(x) = a bx?

SOAL 

Dari dua fungsi berikut ini, manakah is yang mengalami kenaikan lebih cepat?

f(x) = 2*5x atau temperatur sebuah batang logam dalam tungku, yang mana akan naik empat kali lipat setiap jamnya?

SOAL 

Dari dua fungsi berikut ini, manakah is yang mengalami penurunan lebih cepat?

Kecepatan sebuah mobil yang berkurang sampai 75% setiap detiknya dalam suatu tanjakan atau fungsi dalam grafik di bawah ini.

 SOAL 1

Domain dari f(x) = ax terdiri atas bilangan _____ .

SOAL 2

Daerah hasil dari f(x) = ax adalah himpunan semua bilangan ________ jika a merupakan bilangan real positif.

SOAL 3

Dalam fungsi eksponensial f(x) = a bx, b disebut dengan _______.

SOAL 4

Dari dua fungsi berikut ini, manakah yang merupakan fungsi naik dengan tingkat yang lebih cepat?

f(x) = a 2x atau f(x) = b 3x

SOAL 6

Dari fungsi di bawah ini, manakah yang mengalami penurunan lebih cepat?

Menggambarkan hubungan dengan grafik

Menggambarkan hubungan dengan grafik 

SOAL 1

Kamu menyewa mobil yang menempuh jarak 10 meter dalam satu jam. Temukan hubungan untuk menghitung jarak tempuh mobil selama "t" jam.

SOAL 2

Jika seorang penulis menulis 80 halaman dalam satu jam untuk sebuah novel, temukan jumlah total halaman yang ditulis dalam jam 't' jika 50 halaman ditulis oleh asistennya.

SOAL 3

Jika sebuah derek mengangkat 45 ton/jam untuk sekali kerjanya. Temukan  jumlah waktu yang diperlukan untuk mengangkat 750 ton jika 50 ton sudah diangkat sebelumnya sebelum derek mulai bekerja.

SOAL 4

Jika seorang sales berja selama 12 jam sehari, temukan jumlah total produk yang dijual setelah 30 hari jika dia menjual 10 produk / jam ditambah 50 produk gratis bulanan.

SOAL 5

Jika sebuah perusahaan membuat produk dengan biaya $5 dan biaya teknologi total untuk produknya adalah $650, grafik mana yang menggambarkan hubungan antara total pengeluaran y yang dibutuhkan untuk membuat produk sejumlah x?

SOAL 6

Seorang pria menyewa sebuah apartemen. Dia membayar biaya tunggal $1200 ditambah $250 per bulan. Grafik hubungan manakah yang paling bisa menggambarkan total pembayarannya?

SOAL 7

Keuntungan dari suatu perusahaan dihitung dengan bentuk:

P=x2+2x+4

mana x adalah jumlah produk yang dijual oleh perusahaan. Jika keuntungannya enam kali jumlah produk, berapakah kuantitas produk yang dijual?

SOAL 8

Sebuah perusahaan telepon awalnya membebankan $400 untuk sambungan dan kemudian membebankan biaya sewa $45 per bulan. Manakah yang menggambarkan hubungan antara total pembayaran dan jumlah bulan, t?

SOAL 9

Berat truk yang dimuati dengan n objek, dalam kg, adalah 

W=150n+4500

Jika sebuah jembatan mempunyai batas beban 6000kg, berapa banyak objek yang bisa truk muat tanpa menyebabkan kerusakan pada jembatan?

SOAL 10

Hubungan untuk kurva permintaan dan kurva penawaran dari perusahaan dinyatakan dengan

Qd=1400-80P

Qs=400+45P
dimana Qd adalah jumlah permintaaan sedangkan Qs adalah jumlah yang ditawarkan. Manakah yang merupakan titik keseimbangannya?

Grafik Fungsi Eksponensial dan Logaritma

Grafik Fungsi Eksponensial dan Logaritma

SOAL 1

Identifikasilah grafik fungsi logaritma f(x) = ln (-x)

SOAL 2

Identifikasilah grafik fungsi eksponensial f(x) = e (x + 2)

SOAL 3

Dari grafik berikut ini, manakah yang merepresentasikan fungsi eksponensial f(x) = -e -x

?

SOAL 4

Dari grafik berikut ini, manakah yang merepresentasikan fungsi logaritma f(x) = ln (x - 1) + 1
?

SOAL 5

Identifikasilah grafik fungsi logaritma berikut ini : f(x) = -ln (-x + 1)

SOAL 6

Fungsi eksponensial f(x) = -e (-x - 1) + 1   direpresentasikan oleh grafik berikut ini :

SOAL 7

Dari grafik berikut ini, manakah yang merepresentasikan f(x), jika diketahui :

             f (x) = -3 ln (x - 4)

SOAL 8

Dari pilihan di bawah ini, grafik manakah yang merepresentasikan f(x) f(x) 

              jika diketahui :  f (x) = 3(x + 1) - 2

 SOAL 9

Dari pilihan berikut ini, fungsi manakah yang merepresentasikan grafik di bawah ini?

SOAL 10

Grafik yang merepresentasikan fungsi f(x) = log2 (x + 2) adalah :

Nilai fungsi dan nilai akar-akar persamaan aljabar

Nilai fungsi dan nilai akar-akar persamaan aljabar - Kalian tentu sudah memahami tentang konsep dan sifat turunan fungsi, bukan?

Pada topik ini kalian akan belajar tentang penerapan konsep dan sifat turunan fungsi dalam menentukan nilai fungsi dan akar-akar persamaan aljabar.

Salah satu dari terapan konsep turunan fungsi yang berkaitan dengan nilai fungsi dan akar-akar persamaan aljabar adalah tentang gerak rektilinear. Gerak rektilinear adalah gerakan sebuah partikel di sepanjang garis lurus. Persamaan gerak sebuah partikel dinyatakan dengan s = f (t) , dimana

• s adalah panjang lintasan atau jarak (dalam satuan panjang)
• t adalah waktu (dalam satuan waktu)

Macam-macam gerak rektilinear antara lain :

• Kecepatan dan laju
• Percepatan

Kecepatan v(t) pada saat waktu t adalah

Kecepatan gerak sebuah partikel merupakan turunan pertama dari panjang lintasan terhadap waktu.

Percepatan v(t) pada saat waktu t adalah

Percepatan gerak partikel merupakan turunan pertama dari kecepatan terhadap waktu atau turunan kedua dari panjang lintasan terhadap waktu. Selain dalam gerak rektilinear, konsep turunan dapat juga digunakan dalam menentukan laju perubahan luas terhadap panjang sisi atau jari-jari, laju perubahan volume terhadap panjang sisi atau jari-jari.

Agar lebih jelas, mari kita perhatikan contoh-contoh berikut ini.

Contoh 1:

Sebuah partikel bergerak sepanjang lintasan dengan posisi memenuhi persamaan 
s = f(t) = t2 – 4t + 3, t ≥ 0, dengan s dalam meter dan t dalam detik.

a) Tentukan kecepatan gerak partikel pada saat t = 3 detik.
b) Tentukan percepatan gerak partikel

Penyelesaian :

Kecepatan gerak partikel pada saat t detik dapat ditentukan dengan cara berikut :

Berdasarkan uraian di atas, kecepatan gerak partikel pada saat t = 3 detik adalah
v(3) = 2(3) – 4 = 2. Dengan kata lain, kecepatan pada saat t = 3 detik adalah 2 m/det.

Selanjutnya, karena percepatan merupakan turunan pertama dari kecepatan, maka
a(t) = v’(t) = 2. Dengan demikian, percepatan gerak partikel dalam kasusu ini adalah konstan, yaitu 2 m/det2

Contoh 2 :

Sebuah partikel bergerak di sepanjang suatu garis lurus dengan persamaan 
s = f(t) = 2t3 – 9t2 + 12t – 1. Tentukan waktu dimana pertikel berhenti, dan kemudian bergerak lagi!

Penyelesaian :

Karena kecepatan adalah turunan pertama dari fungsi jarak, maka

v(t) = f’(t) 
<=> v(t) = 6t2 – 18t + 12

Karena partikel berhenti kemudian bergerak lagi bila kecepatan nol, maka

v(t) = 0
<=> 6t2 – 18t + 12 = 0
<=> t2 – 3t + 2 = 0
<=> (t – 1)(t – 2) = 0
<=> t = 1 atau t = 2

Jadi, partikel berhenti kemudian bergerak lagi pada waktu t = 1 atau t = 2.

Masalah nyata yang berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri

Masalah nyata yang berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri - Pada topik sebelumnya kalian telah belajar tentang konsep turunan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri. Kalian juga telah belajar menerapkan konsep turunan fungsi aljabar untuk masalah nyata maupun masalah matematika.

Apakah kalian masih ingat terapan konsep turunan digunakan untuk apa?

Penerapan konsep turunan antara lain dipakai untuk :
1) menentukan persamaan garis singgung kurva
2) menentukan interval dimana fungsi naik dan interval dimana fungsi turun
3) menentukan menyelesaikan masalah-masalah ekstrim
4) menentukan gerak rektilinear (kecepatan dan percepatan pada gerak lurus)
5) perhitungan pada limit fungsi

Nah, pada topik kali ini, kalian akan belajar menyelesaikan masalah-masalah nyata yang berkaitan dengan turunan fungsi trigonometri.

Dalam hal ini, tentu kalian harus ingat turunan fungsi trigonometri, antara lain :

1. turunan fungsi y = sin x adalah y’ = cos x
2. turunan fungsi y = cos x adalah y’ = - sin x
3. turunan fungsi y = tan x adalah y’ = sec2 x, dan seterusnya.

Agar lebih jelas mari kita perhatikan contoh berikut ini.

Contoh :

Sebuah tangga panjangnya 8 meter bersandar pada dinding tegak yang tingginya 6 meter dengan bagian atas tangga melewati dinding. Jika ujung bawahnya ditarik horizontal dengan kecepatan 2 meter/detik menjauhi dinding, tentukan kecepatan vertikal ujung atas tangga pada saat tangga membentuk sudut 60o dengan permukaan lantai.

Penyelesaian :

Perhatikan gambar berikut :

Misalkan pada saat t, sudut antara tangga dengan permukaan lantai adalah ϴ, jarak ujung bawah tangga ke dinding adalah x meter, dan jarak ujung atas tangga ke permukaan lantai adalah y meter.

Oleh karena kecepatan vertikal ujung atas tangga ditanyakan, maka kita perlu menentukan dy/dt pada saat tangga membentuk sudut 60o dengan permukaan lantai dan dx/dt = 2 m/det.

Berdasarkan gambar di atas,

Turunan implisit terhadap t dari kedua ruas menghasilkan

Untuk ϴ = 60o berlaku :

Jika hasil di atas disubtitusikan ke persamaan (*), maka diperoleh hasil sebagai berikut :

Jika kita melihat gambar di atas lagi, maka diperoleh

Turunan implisit terhadap t dari kedua ruas menghasilkan

(tanda negatif menunjukkan arah ke bawah)

Dengan demikian, kecepatan vertikal ujung atas tangga adalah -1 m/det .